Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Альфаро В.Д. -> "Потенциальное рассеяние " -> 58

Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.

Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние — М.: Мир, 1966. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): potencialnieraseyaniya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 67 >> Следующая

парциальных волн. Определим в соответствии с [18] для вещественных к, k'
амплитуду вне энергетической поверхности
Т*(A, k\ k) = ~\i~Yx
ОО
X J л (А'*) к, x)V (х) JC'A dx, (III. 1)
о
где функции Ф^А, k, х) подчиняются интегральным уравнениям
ф±(А, к, Х) = {^*-)\(кх) +
со
-h J /С* (Я,, k, х, x')V(x')$±ty, k, x')dx' (III.2)
О
с ядрами
/С* (A, k, х, х') = + / f {xx'f'Hl'2)(Ь:>) Л(kX<), (III.3)
_х + х' , \х - х'\ х> 2 ' 2 '
" _ Х + х' \х - х'\
< 2 2
Мы предполагаем при этом, что ReA>0.
Обычная амплитуда рассеяния получается из ^(А, k, k') на энергетической
поверхности, т. е. при k=k'. Установим строго эту связь между
амплитудами. Так как функции ф^А, k,x) (см. приложение II) удовлетворяют
уравнению Шредингера и так как они регулярны при х=0, то
ф± (А., к, х) = С±ф (A, k, х),
Приложение III
235
где С* не зависят от х. Найдем эти коэффициенты пропорциональности.
Поскольку
f0 (X, A, х) = ехр [-/? (х +1)] Н? (kx),
/0 (X, -k, х) = (^)'/г ехр [/ f- (х + 4-)] М1) (Ах),
<р0 (A,, k, х) = V (Я, + 1) xVx (Ах),
- 2х (§)* Г (X +1) ехр [- / ? (х -1)];
f0(X, -А) =
= 2* (1)* Г (X +1) А^' ехр [/ f (X -1)] ,
то уравнения для ф* можно представить в виде Г (X, А, х) = j^zZT) j к ехР
Ь1 (* ~Щ (*¦• k' *)"
оо 1
- J /о(^> ~к> *>)%(*. А. х<) К(х')Ф+(^, A, xOdx' ь о J
(IH.4)
Ф~(Х. А, х) = fo J ^ j А ехр (х -g-j] фо (X, А, х) -
оо |
- Jf0(A, А, х>)ф0(Х, А, х<) 1/ (х') ф" (Я, А, х') <?*'>• о )
(III.5)
236
Приложение 111
Для нахождения С+ рассмотрим поведение ф+(А.,?, х) при х->0
f0(X, - ?)ф+(А,, k, х) ~ ф0(Я,, k, х) X
х->0
x|*exp[/f (я.--j)]-
°° 1
- J Л>(*. -Л, X')V (л:')Ф+ (Я., к, x')dx'' .
0 I
Но так как из последних формул гл. 5 § 2 следует, что
f(X, -~k) = f0(X, -k) +
СО
+ J Ы*> -k, л:)ф(Я,, k, x)V (.x)dx,
о
то приходим к соотношению
C+f (X, -k) -k exp [/ j (Я, - у)]. Следовательно,
ip+(X, к, = cp(X, k, x).
Аналогичным образом можно получить
ф-(Ь, к, •") = -expI~/(^~-1/a)] Ф(^. k, х), так что
Т+(Х, к', k)f(X, -Л)ехр{-/|(я,-1)} =
= Т~ {X, k', k) f (X, k) exp | i J (x - -) |,
T+ k'' k) = 5 (X, k) = em <*" kK T- (X, k\ k) v '
Приложение III
237
Для функции Т+(X, k, k) при k! = k полученные формулы дают
Т+(Х, k, k) = e16^"sin 6(Х, k) (III.6) и соответственно
Т~(Х, k, k) = e-i6(Kk)sinb(X, k).
Покажем, что F(X, -k) представляет собой просто детерминант Фредгольма А+
(A,, k) интегрального уравнения (III.4), определяемый формальным
разложением [53]:
X
со J йхх. СО •J
Я = 1 0 0
К+ (X!, хх) ... К+ (хи Хп)
К+ (хп, х,) ... К+ (хп, Хп)
V(Xl) ... V{xn).
Так как подынтегральные выражения в я-кратных интегралах являются
симметричными функциями xt, то детерминант А+(Я, k) можно переписать
также в виде
со
Д+(А,, A)=l+ X' [f, (X, - k)]n Х
TI-1
ОО ОО оо
X J dx\ | dx2 ... | dxn DnV {хг) V (лг2)... V (x"),
0 хп_г
(III.7)
где через Dn обозначено [для сокращения полагаем fi - fo (^* -k,xt), <рг
= <р0 (A,, k, xt) и учитываем, что хi<X) при / < У]
9l/l 4>if2 Ф^л
Фг/^2 ф2/л
Фл-lfl Фл-1/2 Фл-1/л
Фя fl Фл/2 Фя/я
(III.8)
238
Приложение Ш
Рассматривая fn и ф" как независимые переменные, можно представить
детерминант Dn в виде
Dn = fn 1<Рп?>п-1 + fnO (fu ¦ ¦ •. /n-l)]. (III.9)
где G не содержит fn.
Полагая в (III.8) fn~fn_ 1э видим, что
(Dn)f =/ = fn-1 [Фл - Фя-l] D"-u
' П ' П- I
С другой стороны, в силу равенства (III.9) имеем
(D")f =/ - fn-l |Фп^л-1~Ь /л-1^1-
п 1 п- 1
Отсюда получаем выражение для G
и, следовательно,
Dn=-r~ lfn-l<f>n - fn<Pn-l] А.-1-
fn-1
Далее, так как D1 = f1(f1, то
?>л = Ы/л-1Фл-^Ф"-1] 1/я-2Фл-1 fn- 1Ф/1-2] • • .
• • • [/ 1Ф2 - /2Ф1J Ф1 Соответственно формула (III.7) принимает вид
ОО оо
Д+ (к, k)= 1 + ^ [h(Xtl_k)]n J dx#! V(jcO X
п=i * о
оо
X J dx2V{х2)[/,ф2-/2Ф1] • • •
X,
оо
... I dxaV(xn)\fa-iVn-fnV"-i]fn- (ШЛО)
Хп- 1
Чтобы подтвердить равенство A +(X,k)-F(X,-k), воспользуемся выражением
для F(K,-k), следующим
Приложение 111
239
из последних формул § 2 гл. 5:
F{X, _й) =
ОО
= !+ j0 (х,1 ji) J f(1' ~k' *)%(*-. k> x)V{x)dx.
0
(III.11)
Функция f(X, -k, x) подчиняется интегральному уравнению (4.3), которому
может быть придана следующая форма:
{(X, -k, x)=^f0(X, - k, jc) +
ОО
"Ь f0 (я, k) J ^ У)
x
- fo(X, -ti у)фо(X, k, x)}V(y)f(X, -k, y)dy. (111.12)
Решение (III. 12) (найденное итерациями), подставленное при подстановке в
(III.11), дает правую часть (III.10); таким образом, действительно
Д+(Я, k)=F(X, -k).
Совершенно аналогично можно доказать равенство A~(X,k)=F(X, k).
Выведем теперь уравнения Липпмана - Швингера для T(X,k',k). Из уравнения
(III.2) с помощью интегрального представления
со
КЧХ, k, х, х') = {xx't J Jk(k'x)JK(k'x') (^'gV2 , ReA,> -1,
получаем интегральные уравнения для Т*(х, ti, k): ТЛ{Х, ti, k)=T0{X, ti,
k) +
CO
-f- j H± (X, ti, ti, ti') T* (X, ti, k) dti, (III. 13)
240
Приложение III
где
СО
Т0 (X, A', k) = - f (-^-)'/2 J хУх (А'х) У, (Ах) I/ (х) dx
О
V °°
Я" (А, А; А', А") = J Л (*'*) Л (*"*) ^ (л) rf*.
При
ОО
V (х) = J а (ц) dii
m
имеем
Я±(А, А; А', А') =
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed