Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
fal и /ар $5]. Как и в случае одноканальной задачи, амплитуда f?p
является функцией только передаваемого импульса
Для собственно потенциала Юкавы вторая борцовская аппроксимация может
быть вычислена явно. Приведем окончательное выражение для при
VT
Н& = й V + 2Ма (Гр -4J + 2 (Га - Гр) (Ма - УИр) ±
±|У2Мр(Г-Гр)(4/я*Ч-0-
Из формулы (13.4) нетрудно видеть, что при Ма > и - 4/и2 > t > - 4m2
(УПц/УИр)
сингулярности амплитуды не будут ограничены только осью действительных
значений Е. Поэтому маловероятно, что в рассматриваемом случае может быть
получено обычное дисперсионное соотношение. Подобные же трудности
появляются в анализе методом парциальных волн. Это объясняет, почему
большинство исследователей многоканальной задачи с самого
% М = (Л2/2УИа) са рб (р - тп),
(13.4)
здесь
У(4т2 /) -ф 2т
§ 1. Многоканальные задачи
2/5
начала принимают, что масса Ма=М и не зависит от а; мы поступим
аналогично.
Положим
2М у, р 2М ср р 2М г, тг-
f)2 6 a a* fj2 6 fi2 иар- v ар-
Таким образом, параметрами уравнений будут служить только две величины Еа
и /иар. В работе [35] полная амплитуда была исследована методом Клейна -
Земаха; в результате было получено дисперсионное соотношение вида
/*(?. *>=/8<?. /-4"-У
О п
(13.5)
при условии, что для всех а, р, у, 6
таР^\^а ^р|'
Kv (Е)+е- Eaf+№ (Е)+е- > (13.6)
>|шау(?) - т^(Е)\,
где
Мар (Е) = /Иар + (Еа ~ Ef2 0 (Еа - Е), tQ (Е) = 2Е-Еа - Еу-+- 2тау (Е)
тр6 (?) -+-
+2 KY (?) + ?- Eaf [m^ (?) + ?- ?у]7'.
Условие на t является непосредственным обобщением условия Кури ^<4т2.
Условие же яг2р > > |Яа-Е^\, является новым. Оно не имеет аналогии в
одноканальной задаче, кроме разве что тривиального условия таа >0. Оно,
скорее, является нерелятивистским приближением к условиям стабильности
вертекса с внешними массами
jM, = Af + = "
2Мс2
м, = м+?=м+%&.
№> = т!.А-
216 Гл. 13. Обобщения теории потенциального рассеяния
которые имеют вид
М\ < М\ + Ml, Ml < Ml -f Ml
Эти условия гарантируют отсутствие аномальных порогов в релятивистских
фейнмановских амплитудах.
Ограничиваясь юкавскими потенциалами, представление Мандельстама можно
было бы получить также из рассуждений гл. 11. Вопрос о необходимом для
этого числе вычитаний в работе [35] не обсуждался. Для этого необходимо
провести обработку многоканальной задачи методами, основанными на
использовании парциальных волн. Это было сделано Ньютоном и Мостом [75]
для 5-волн, однако только для случая, когда все Еа-0. Они даже
восстановили потенциал из 5-матрицы, дав, таким образом, обобщение
процедуры-Гельфанда - Левитана на случай многих каналов. Однако принятая
ими модель была слишком простой, чтобы можно было выявить на ней какие-
либо новые особенности многоканальной задачи.
Более общим является подход Шарапа и Сквайра [25], которые рассмотрели
частицы с произвольными спинами и другими внутренними степенями свободы;
при этом спин был функцией индекса канала. Приведем краткое изложение
соответствующей теории для бесспиновых частиц; то характерное, что
привносит спин в анализ с использованием комплексных угловых моментов,
выявится позже. Наоборот, свойства по энергетической переменной в
значительной мере не зависят от наличия спина. Система уравнений для
парциальных волн, следующая из уравнения (13.1), имеет вид
N
^гФа+(?- Еа) Фа - 'K2^2U Фа - S ^ар (Х) Фр = О,
P=I (13.7)
kl = E-Ea, &=Е. У '
Возьмем для нее две системы фундаментальных решений: регулярную систему
решений <рар с граничным условием при х=0
<PaJ(^> Е, *) - 6ap*u,/2 (a> Р= 1. • • •> N)
' * > о '
§ 1. Многоканальные задачи
217
и систему решений Иоста /*р(X, Е, х) с граничными условиями
f*(X, Е, х) ~ 6 (а, р = 1, .... N).
н X -> со
Эти функции образуют полный 2М-мерный базис для всех решений (13.7). В
дальнейшем для /±(А,, Е, х) мы будем пользоваться матрицами /±(А,, Е,х)
и<р(Х,Е,х). Можно показать, что если А, В -любые два матричные решения
уравнения (13.7) с одним и тем же числом строк, то вронскиан W{A,B),
определяемый как
W(A, В) = АТ^-^В
(Т означает транспонирование), является матрицей, не зависящей от х.
Соответственно функцию Иоста определим равенством
f*(X, E) = [W(ф, /*)]г. (13.8)
Функция Иоста будет теперь квадратной NX M-матрицей. Далее имеем
W{f+, Г) = 2ИС, (13.9)
где К - матрица с элементами Ka$=kabap
Поскольку ^(Х,Е, х) образуют полную систему функций, то
Ф(Х, Е, x) = f+(X, Е, х)А(Х, ?) +
+ f-{X, Е, х)В(Х, Е), (13.10)
где Л и В суть NxN-матрицы. Используя соотношения (13,8) и (13.10),
получаем
f+T{X, E) = W{y, f+)=W{f+A + f-B, Г) =
_ BTf~T - ВГ d~- f + =BTW(r, f) - - 2iBTK,
218 Гл. 13. Обобщения Теории потенциального рассеяния
или/+ = - 2iKB. Аналогично / =2iKA. Следовательно,
Ф(Я., Е, x) = -?f[f+(k, Е, хЖ^ПЬ, Е) -
-Г{Ъ, Е, x)K'Y{K Е)]. (13.11)
Из формулы (13.11) непосредственно видно, что асимптотика ср(к, Е, х) при
больших х будет иметь вид
фч(1, В, х)~Е)?)] •
Поэтому функция
X = 2/Аф(Я,, Е, x)[f~(k, Е)\ 1 ведет себя при больших л: как
XaP~V"''V-^a^+^ Е)\ПК Е)Г\
