Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда для 5-матрицы имеем
S = f+(X, E)[f~(K Е)УХе1я(Х-'к).
Само собой разумеется, что все приведенные определения совершенно
формальны и их нужно дополнить более строгими рассмотрениями с помощью
теории интегральных уравнений, причем можно почти дословно повторить всю
теорию для одного канала. Скаляры нужно заменить при этом на
соответствующие матрицы. Такой подход позволяет легко найти аналитические
свойства по интересующим нас переменным.
В одноканалыюй задаче очень удобно использовать в качестве переменной
величину k, так как соответствующие амплитуды не имеют при этом
кинематических сингулярностей, и остается исследовать только динамические
сингулярности. В многоканальной же задаче нет оснований считать k
привилегированной переменной, так как порог k = 0 нужно рассматривать в
этом случае наравне с другими возможными порогами. Соответственно
сказанному находим, что матричная функция Иоста как функция Е имеет на
каждом пороге Еа особенность, подобную той, ко-
§ 1. Многоканальные задачи
219
торая в случае одного канала была при Е = 0. Каждую такую сингулярность
можно локально исключить, беря в качестве переменной ka. Подобным образом
нельзя, однако, добиться общей униформи-задии амплитуды. В силу
сказанного обсуждение свойств амплитуды на нефизических листах сильно
усложняется. Подобные трудности возникают при изучении полной амплитуды
рассеяния, для которой было получено дисперсионное соотношение (13.5). Из
(13.5) видно, что амплитуда имеет разрез, начинающийся от самого низкого
порога Е = 0. В действительности же мы имеем дело с целой суперпозицией
разрезов, начинающихся на каждом пороге.
Рассмотрение связанных состояний и резонансов можно провести так же, как
и в случае одного канала. Если для некоторого Ео функция f~ принимает
нулевое собственное значение, то матричные элементы S будут сингулярными
при Е=Е0. При 1т&>0 соответствующая волновая функция будет интегрируемой.
Она представляет связанное состояние с отрицательной энергией. Несколько
неожиданным для многоканальной задачи является появление стабильных
связанных состояний, расположенных выше и ниже порога ?=0 и лежащих в
сплошном спектре [34, 36].
Возвращаясь к рассмотрению комплексного углового момента, отметим здесь
то новое, что привносит в теорию внутренний спин сталкивающихся частиц
[20]. Удобной переменной в этом случае будет полный угловой момент J =
S+L, ибо L не является больше интегралом движения. Любой элемент S-
матрицы будет аналитичен при Re/>L0-|-S, где L0 - некоторая константа,
зависящая от потенциалов Vaр, a S - максимальный спин. Грубо говоря,
сингулярности как бы производятся на плоскости L, а затем переносятся при
добавлении спина на плоскость J. В теорию входит аналитическое
продолжение коэффициентов Клебша- Гордана на комплексные значения
индексов.
Гелл-Манн [41, 42] отметил, что в многоканальной задаче в пренебрежении
случайным вырождением собственное значение имеет сравнительно простую
структуру. Если S-матрица имеет простой полюс при
220 Гл. 13. Обобщения теории потенциального рассеяния
J=J0{E) как функция J (можно, однако, говорить также о переменной Е), то
в окрестности такого полюса имеем
о П рч .. У" VP <?)
°3 v ' П>~ J - J0(E) "
Полученный простой результат имеет важные приложения в физике высоких
энергий, где с его помощью выводятся интегральные соотношения между
эффективными сечениями различных процессов.
Примером, позволяющим понять многие особенности задачи рассеяния частиц
со спином, является рассеяние двух частиц со спином '/г при нецентральном
потенциале
1/(0!, а2\ x)==l/d(.*)-4-V'a(-*)0i-02 +
4* VT (х) Sx 2 + Vo (¦*) L • S, О _ , _ с з (а, ¦ Xi) (<т2 ¦ х2) - (а, ¦
ст2) лг2
4 Э- 0!-)-02* >-*12- ^2 •
Уравнение Шредингера можно свести к уравнениям для парциальных волн.
Синглетные состояния J = L не смешиваются с другими состояниями и
описываются поэтому одноканальной теорией. Состояния L - J-1 и L - J+1,
наоборот, связаны тензорными силами, и система уравнений для них имеет
вид [101]
и](х) + [>-- Vс(X)-(J- \)V0 (х) -
- 22J^T VТ (*)] UJ = - 6VL+V] UT (x) VJ (•*)• j (X) + [& - (У+1У + 2) -
Ve(X) + (J + 2) V0(x) +
+ trfT vr <*>] <*> = - -2iJ+f] - VT (X) "У (*).
где Vc=Vd+Va¦ Когда тензорные силы отсутствуют, приведенная система
уравнений распадается и соответствующие функции Иоста становятся
аналитиче-
§ 1. Многоканальные задачи
221
скими при Re(/-1)> - 1/2 и Re(/+1) > - '/2 при тех же допущениях (3.2),
что и в случае одного канала. Таким образом, процедуры спинового сдвига
плоскости L в плоскость / очевидны.
Предположим теперь, что величины Vc и Г0 таковы, что отдельно появляются
две траектории J=Ji(E) и J=J2(E) для Uj и V] при RT = 0. Разумеется, что
при / = 0 канал uj становится бессмысленным, так как в этом случае L = -
1. Поэтому, если траектория J = Ji(E) пересекает прямую / = 0, это не
ведет ни к связанным состояниям, ни к резонансам; не будет также никакого
вклада в полную амплитуду рассеяния. По известной теории (см. [10])
