Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
линии, соединяющего х и у. Следовательно,
2л
d | d(f J V (d, tj, ф) йц
<4лЛ? max| V(x)\.
Чтобы оценить второе' слагаемое в правой части
(10.25), вспомним, что y<R, т. е. функция V(t) исчезает при |у - t\>2R.
Следовательно, в качестве области интегрирования для второго слагаемого
можно взять |у -1| =!+T)d<2/?,
Далее имеем
так что
дУ (|, г), ф)
Ч
-d2
< sup
dV (х) dx
mr
Вместо t|, I введем /?а=й?(1-f-ri) и q = \ - d
dy | йц | еш '"¦
0-1 d
-d\ dv (1. л. Ф)
dl
d\
2 R
1R ¦
< S?P | *ЧГ~ \^[dp\dq
Эта верхняя оценка не зависит от хк у и k. Отсюда заключаем, что
|Д(х, у, ?)|<С
для всех х, для всех у, для которых y<R, и для всех k, для которых Im k >
0.
§ 6. Асимптотическое поведение при высоких энергиях 163
Из (10.25) следует, что
ОО
IKOVplKprj- J x<**\V(x)\dx (Ю.26)
о
для всех k, для которых 1ш k > 0.
Отбросим теперь дополнительное предположение о том, что V(дс) непрерывно
дифференцируема и не* чезает при x>R, сохраняя только условие (10.22).
При любом 6>0 существует непрерывно дифференцируемый потенциал U(x),
такой, что
U(x) - 0 при x>R, (10.27)
и
ОО
J xe^l V (х) - U(x)\dx < 6. о
Следовательно,
||OV-G't/||<6,
|] (О V)2 - (0'?/)2||<б[ 2 J xea*\V {x)\dx + b\ (10.28)
I о i
для всех k, для которых Im k > 0. Поскольку U(х) удовлетворяет условию
(10.27), для (G'U)2 имеет место оценка (10.26). Тогда в силу (10.28)
имеем
lim [| (O'Vf Ц = 0,
I k | -> оо
сходимость равномерна при Im &>0.
Отсюда, используя очевидное соотношение
(1 - G'l/) (1 + G'l/) = 1 - заключаем, что
(1 -G'V)-'=R=\+T
удовлетворяет условию
lim || Т - GV|| =0, (10.29)
| k j ->ео
причем сходимость равномерна при Im k > 0.
11*
164
Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
Представим волновую функцию как сумму падающей волны % и рассеянной волны
Ч'ь тогда
Urn - GV'Po 11 = 0; (10.30)
1ft l-^oo
при этом сходимость равномерна при Im&^O.
Если отвлечься от члена, соответствующего первой борновской
аппроксимации, то амплитуда рассеяния запишется в виде
П(Е, <) = -к J ехр[-^-/(Я-А)е.х]х
XV(x)4f[(x)d"x. (10.31)
Обозначим через fi (Е, t) член, соответствующий второй борновской
аппроксимации. Тогда из условия (10.30) можно получить
lim /,(?, t) = ff(E, t), (10.32)
I ?|->oo
сходимость равномерна при Imk^O.
Теперь остается доказать, что вторая борновская аппроксимация исчезает,
когда \Е\ -* оо при lmfc>0. Это можно сделать, обратившись к уже
использованному методу [см. формулу (10.23)]. Ограничимся изложением идеи
доказательства.
Исходным является выражение для второго бор-новского члена
ff (Е, t) = (4я)~2 J d3x ехр - iP* • х] X
X V" (jc) J* d3y ехр;^ ~ у 1 V (у) ехр [- I ^-f- iPe • у].
Функцию fi (Е, t) можно снова равномерно аппроксимировать при 1т&>-0,
если заменить V{x) соответствующим образом подобранным непрерывно
дифференцируемым потенциалом U(x), исчезающим при x>R. Затем следует
ввести параболические координаты для у с фокусом в точке х и с осью в
направлении е. Тогда величина |х - у|-е-(х - у) будет равна одной из
параболических координат, и интегрирование по частим по этой координате
даст мно-
§ 6. Асимптотическое поведение при высоких энергиях 165
житель krl. Получающиеся интегралы просто оценить используя свойства
U(x)\ в результате получаем что ff(E, Д; U) ограничена величиной const
|&|->'для больших \k\ при Im?>0. Поскольку функция ff(E, (; V) равномерно
аппроксимируется ff (Е, t; U), то
lim ff(E, t) - О,
| ВI ->оо
причем сходимость равномерна при Im&>0. Вместе с равенством (10.32) это
завершает доказательство теоремы 1.
Сделаем еще одно замечание о частном случае предела вдоль действительной
положительной оси Е. В этом случае нет необходимости проводить отдельно
рассуждение для второй борновской аппроксимации. Причина состоит в том,
что для физических значений Е амплитуда определяется равенством
f(E, t)= Нтд:е_'*-(Ф(х), (10.33)
ДГ->оо
где Ф(х) означает рассеянную волну и предел х->оо следует понимать как
стремление в бесконечность вдоль фиксированного направления к'. Так как
известно, что рассеянная волна стремится при Е -> оо к первой борновской
аппроксимации, то сразу же заключаем, что соответствующий результат имеет
место и для самой амплитуды рассеяния. Это основная идея работы [57]. В
случае же комплексного Е никакого соотношения, подобного (10.33), по-
видимому,не существует, и аналитическое продолжение амплитуды рассеяния
необходимо искать с помощью интегрального представления (10.31).
Имея в виду возможное приложение полученных результатов к выводу
дисперсионных соотношений, напомним в заключение, что если потенциал V(x)
действителен, то имеет место соотношение эрмитовости
\J(E,t)]*=f(E*,t*) (10.34)
при условии,-что Е не принадлежит спектру. Приведенное соотношение легко
получить из уравнений (10.4) и (ЮЛ 1).
166 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
§ 7. Дисперсионное соотношение Кури
Изучив в § 6 асимптотическое поведение амплитуды рассеяния, можно перейти
теперь к последнему этапу вывода Ундикера, т. е. непосредственно к
