Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
просто. Нетрудно убедиться в том, что
T=t1 + ti+^ + ?$-[\№ + *E(tl + Q + tlt2\k
является наибольшим корнем квадратного уравнения D~E[t- {Vh + /Т2)2] [t -
{Vh- yitf\ - ttxt2 = 0. Если t > T, то D > 0 и
[t _ {утх + ут2)2\ [t - (УГ, - yitf] > 0.
Так как t>T>ti + t2, второй множитель положителен. Следовательно,
положителен и первый множитель. Отсюда заключаем, что функция К(Е, t\ tu
t2) обращается в нуль, если только не выполняется неравенство
tyiVh + yitf.
Таким образом, вторая борновская аппроксимация обращается в нуль, если
только не выполняется t>4m2. Если же 4m2<^<9m2, то она сразу дает р
(E,t), ибо остальные члены в формуле (11.11) обращаются в нуль. Пусть
далее 9m2<^<16m2. Тогда в правой_части (11.11) имеем либо ytx-\-m <
V"*i~b + Р < Yt < 4m, либо Уti Уt2 < 4m. В первом случае интегрирование
по t1 ведется в области ti<9m2, в которой р(?, ti) уже известна. Во
втором случае вообще нет никакого вклада, так как р(Е, ^i) = = р(?,
tj)=0, если только не выполняются неравенства Vh > 2m, > 2m, что
противоречит неравенству У ti -f- У t2 <С. 4m.
182 Гл. 11. Представление Мандельстама
Итак, спектральную функцию р (E,t) можно найти явно вплоть до ^<16т2.
Подобным образом нетрудно показать, что р (E,t) при п2пг2 ^ /< (п+ 1)2т2
можно найти рекуррентно путем непосредственного интегрирования из р{Е, t)
при (п-1 )2m2 t<n2m2. Таким
образом, с помощью конечного (хотя и возрастающего с увеличением t) числа
шагов амплитуду f(E, t) можно рассчитать вплоть до любого значения t. В
любой точке Е, t плотность р (E,t) совершенно точно дается конечным
полиномом по константе связи, причем степень этого полинома возрастает с
ростом t.
То обстоятельство, что р (Е, t) можно всегда точно рассчитать в любой
точке, не ведет, однако, к заключению о том, что амплитуду рассеяния
также можно рассчитать точно в любой точке путем обрывающегося процесса.
Чтобы получить амплитуду }(Е, t), нам нужно знать плотность р (Е, t)
одновременно для всех значений t, а это требует бесконечного числа
итераций. Вместе с тем представляется разумным предположение о том, что
хорошую аппроксимацию можно получить, взяв достаточно большое число
итераций, поскольку более высокие итерации существенны лишь для
отдаленных областей плоскости t.
По известной плотности р(?, t) можно рассчитать положение левого разреза
в УУ/О-методе (см. гл. 6) и затем найти с помощью этого метода положения
связанных состояний. Метод настоящего параграфа в силу своей внутренней
связи с теорией возмущений этого сделать не позволяет. Можно, конечно,
используя электронные вычислительные машины, провести численные расчеты
плотности р {E,t) даже для очень больших t, учитывая при этом вклады
высоких порядков теории возмущений. Результаты таких расчетов можно
представить в виде ^{k)iaW и найти численными методами функцию a{k).
Подобные расчеты были выполнены для потенциала Юкавы и находятся в полном
согласии с результатами других методов [1].
. В заключение заметим, что математическая строгость во всех упомянутых
выше расчетах далека от той, которая достигнута в других областях
излагаемой теории. Было бы весьма желательно поэтому про-
§ 4. Унитарность и представление Мандельстама
181
вести дальнейшие исследования и обойти трудности, с которыми приходится
здесь сталкиваться. Несомненно, что решение итерациями, полученное для
f{E,t) с помощью выражения (11.11), должно совпадать с решением методом
теории возмущений (§ 2 настоящей главы). Однако совсем не просто
убедиться в том, что полные вклады в каждый порядок идентичны друг другу.
Совсем не тривиально убедиться, что они действительно совпадают хотя бы
до членов третьего порядка. До сих пор нет общего метода, который
позволил бы просто проводить такого рода сравнение.
Отметим, что в рамках изложенных идей вместо переменных Е, t и амплитуды
рассеяния f(E, i) можно использовать переменные Е, К и нормированную
функцию Иоста F(K,k) [28]. При этом вместо выражений
(11.9) и (11.7) нужно воспользоваться соотношением
(5.14)
ellAF(k, -k)F(-X, k) -
- e~inXF(%, k)F(-A, -?) = 2/sinnA и интегральным представлением
оо со
НК *)='+^ J TjK-.,,<!+"/jAAl"P'
где a - nFllE. Уравнение для D имеет вид
со_________________ со
О
ОО 00 оо со
О г Л * Л Л
рУА
2л*
где
ч/ Г К (S; а< Р) D (У- т> D <ff' 'П) rf* Ml 191" J (т - а - is) (г] - о -
/е) (g - у +ге) '
О
(%• а б! -_________________^ (s So)_______________
д и, О, р; - |2 + ff2 + p2_2&0p_2(|a + ffp + |p)
Ьо= 0 Н~ Р "Ь °Р ~Ь V (a Н~ 2) (Р + 2).
184 Гл. It. Представление Мандельстама
После того как уравнение (11.12) решено относительно ?>(р, р), можно
найти функцию F(k,k) и все другие величины, характеризующие процесс
рассеяния; нули F(X,k) дают связанные состояния и резонансы. Однако
уравнение (11.12) не имеет того весьма удобного свойства уравнения
(11.11), которое позволяет провести точный расчет амплитуды ?>(|3, р) в
заданной точке.
ГЛАВА 12 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
§ 1. Введение
В предыдущих главах мы обстоятельно занимались задачей отыскания
