Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
х)
<?<р
dxi
<(1+1*1 )N,
где N - константа, зависящая только от М и R. Для доказательства
равностепенной непрерывности этого неравенства более чем достаточно.
Свойство 3 лучше всего вывести из (10.6), обратив внимание на то, что
выражение в правой части
(10.6) является убывающей функцией х. Если x>R, то это выражение
сводится к
±jx'2\V(x')\dx' <^=f(x).
о
Теперь необходимо избавиться от ограничений на потенциал V(x). Используем
тот факт, что предел равномерно сходящейся последовательности вполне
непрерывных операторов сам является вполне непрерывным оператором. Таким
образом, нужно только показать, что для любого потенциала У(х),
удовлетворяющего (10.3), имеется такая последовательность ограниченных
потенциалов Vn{x), что
lim \ GV - GVn\ - Q.
Подробное доказательство этого приводится в приложении V.
§ 3. Рассмотрение волнового уравнения 151
Если оператор GV вполне непрерывен, то, согласно теореме 17 гл. 2, для
функционального уравнения (10.5) в нормированном векторном пространстве
справедлива альтернатива Фредгольма, т. е. либо существует резольвентное
ядро
R(k)=[l-GV(k)]-\
либо существует нетривиальное решение однородного уравнения
(10.7)
Из существования резольвентного ядра сразу же вытекает существование
решения неоднородного уравнения. Поэтому существует либо решение (10.5),
либо решение (10.7).
Унцикер доказал, что при
ОО
J | V{х)\йгх = J хЦУ (x)\dx < оо, (10.8) о
функцию Грина, входящую в интегральное уравнение (10.4), можно заменить
для больших х асимптотическим выражением
1 е
ik I х-х' I Akx
9-ik'X'
W I х - х' | " (10-9)
где x=xn, k'=kn. Доказательство приведено в приложении VI.
В силу этого асимптотическое выражение волновой функции имеет вид
ikx
W(x)~et't * + 1irF(k, cosft), (10.10)
где cos Ф=к 'ti/k, а амплитуда рассеяния F(k, cos tf) дается формулой
F(k, cos'&) = - J e-ik'-*V(x)W(x)(i3x. (10.11)
Далее, любое решение уравнения (10.7) удовлетворяет неравенству
|?| <А^~, b = lmk>0,
152 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
поэтому любое такое решение, принадлежащее к L2{0, оо), представляет
некоторое связанное состояние.
Так как потенциал V(x) веществен, гамильтониан является самосопряженным,
и его собственные числа E=k2 должны быть действительными; следовательно,
величина k должна быть чисто мнимой.
§ 4. Аналитические свойства оператора резольвенты
Прежде чем выводить дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния,
нужно рассмотреть аналитические свойства волновой функции и
резольвентного ядра.
Ниже нам понадобится определение голоморфной векторной (операторной)
функции. Пусть D - некоторая область комплексной плоскости k (k=h+ib), и
пусть W{k) означает функцию, заданную на D из комплексного банахова
пространства Г. Пусть U(k) - функция на D из банахова пространства
линейных операторов на Г (из другого банахова пространства Г'). В нашем
случае, конечно, подразумевается, что пространство Г=С, а пространство
ограниченных линейных операторов переводит С в С.
Голоморфность удобно определить как свойство иметь производную в сильной
топологии [45], т. е. функция Чг(&) называется голоморфной в области D,
если для любой последовательности kn -> k в D существует такой элемент
4f/(k) ? Г, что '?(k)-V(kn)
lim
¦kn
W(k)
= 0.
Аналогично определяется голоморфность операторов. Операторы удобно
рассматривать как элементы банахова пространства. Существуют и многие
другие определения голоморфности, однако все они эквивалентны данному
[45].
Для нас сейчас важно то, что на голоморфные векторные функции можно
распространить известные результаты, полученные для обычных функций
комплексного переменного, например теорему Коши, тео-
§ 4. Аналитические свойства оператора резольвенты 153
рему Морера, разложение в ряд Тейлора, формулу Коши. Конечно, теорию
нелинейных функций в векторном пространстве построить невозможно.
Получим некоторые результаты для функции GV(k). Пусть Р означает область
Im k > 0.
а) Функция GV(k) равномерно непрерывна в Р, т. е. при условии (10.8)
имеет место
\GV{k) - GV{k')\ = sup || \GV(k) - GV(k')\ ^ |K
| exp (ik | x - x' |) - exp (ik' | x - x' | )| j у ^
Q
шествует для любой ограниченной спрямляемой кривой Q в области Р.
б) Функция GV(k) голоморфна в Р. Пусть
где Q - замкнутая кривая, лежащая в области Р. Интеграл А всегда
существует в силу сказанного в пункте "а". Пусть if 6 С и не зависит от
k. Тогда
Так как последний интеграл равномерно сходится для всех k, в нем можно
изменить порядок интегрирования. Тогда для любой функции ф ф = 0 и,
следовательно,
lim \GV(k) - GV{k')\ = 0, k\ k?P.
k' -*k
Очевидно, что
\eikx- eik'x\<\k - k'\x,
поэтому
II V 11=1
Отсюда сразу следует, что интеграл j GV(k)dk су-
А= J GV (k)dk,
Q
Ф - Лф = Г(? GV (К) dk 1 Ф = сБ dkQV (k) ф
V(x')ip(x')d3x'.
Q
154
Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
А - 0. Функция GV(k) является поэтому голоморфной функцией k в Р.
в) Резольвентный оператор R(k) =[1 - GV(k)]~x голоморфен в любой точке
