Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Е. В гл. 9 было показано, что для юкавского потенциала функция f(E, t)
является аналитической во всей плоскости с разрезом -оо -"С t -"С - tn2.
Пусть Е действительно и положительно; определим величину (Imf)(E,t) как
аналитическое продолжение Im f{E, t), т. е.
(Im f)(E, t) = ^-{f(E, t) [/ (E, ОП
(ясно, что Im f{E,t) не является аналитической функцией Е, t). Функция
(Im f){E,i) имеет по меньшей мере ту же область аналитичности, что f(E,
t). Далее, так как (Im f0) {Е, t) =0, то как следствие рассмотре-
12 Зак. 18
178
Гл. 11. Представление Мандельстама
ния в § 2 асимптотических свойств членов ряда теории возмущений имеем
оо
(Imf)(E, 0=4 J ЩЦ-dt', (11.6)
Am2
где p(?, t)-вообще говоря, обобщенная функция (см. гл. 9, § 7). При т2
<^'<4т2 вклад в интеграл исчезает, так как первая борновская
аппроксимация действительна. Подставим (11.6) в (11.5); пренебрегая
вкладом связанных состояний и переставляя без соответствующего
обоснования порядок интегрирования, получаем
ОО СО ОО
НЕ. J И'\ щ^Р+t^E'.
а 4т1 0
(11.7)
Вклад от связанных состояний не включен в рассматриваемое выражение, ибо
их существование противоречит нашей исходной гипотезе о том, что /(?,/)->
0 при |f|-"-oo. Величина Рг( 1-t/En) ведет себя как tl или как константа
для 5-состояний.
Соотношение (11.7) является простейшей формой представления Мандельстама
(для потенциального
рассеяния). Необходимо отметить, что, хотя область аналитичности формулы
(11.7) установлена с достоверностью, сама формула получена не вполне
строго: перестановка порядка интегрирования нуждается, конечно, в более
строгом обосновании !).
При наличии связанных состояний нужно использовать процедуру вычитания.
Из сказанного в гл. 9 следует, что минимальное число вычитаний N
удовлетворяет неравенству
N. > шах maxReA-в.
0 < Е < со К
Это ясно, так как N должно быть всегда больше, чем наибольший угловой
момент для связанных состоя-
') Это сделано в работе [8].
§ 4. Унитарность и представление Мандельстама 179
ний. Дисперсионное соотношение с вычитаниями записывается в виде
ЛГ-1
не, t)^m+Yiantn+
п=О
со оо
tN f dt' f p *?'' dE' И1 8)
Я2 J at t'N(t' + t)(E'-E) 1 '
4m! 0 t'""' + tHE'-E)
Соотношение (11.8) очень удобно, но, к сожалению, содержит меньше
информации об аналитическом поведении, чем аналогичное выражение,
получаемое при lF-преобразовании. Действительно, соотношение
(11.8) устанавливает верхнюю границу для показателя степенного роста
в виде a(E)<N, 04^Е<оо, но ничего не говорит о деталях функциональной
зависимости а(Е).
Зависимость а(Е) явилась предметом многих исследований и численных
расчетов как в релятивистской, так и в нерелятивистской теории. Однако
никаких общих заключений относительно общих свойств а (Е) и порогового
поведения, кроме обсуждавшихся в гл. 8 и 9, из этих исследований и
расчетов сделать нельзя. Не зная детально функцию а (Е), не имеет смысла
заниматься дисперсионными соотношениями с вычитанием типа (11.8), и
поэтому мы будем заниматься в основном простейшей формой дисперсионного
соотношения (11.7).
§ 4. Унитарность и представление Мандельстама
Перейдем теперь к одновременному использованию свойства унитарности и
двойного дисперсионного соотношения [10]. Это направление исследования
отчасти вызвано теорией элементарных частиц в рамках формализма S-матрицы
Чу. При этом основная идея сводится к тому, чтобы в окончательной теории
сильных взаимодействий использовать только асимптотические амплитуды. В
этом'случае уравнение шредингеровского типа должно быть заменено таким
12*
180 Гл. И. Представление Мандельстама
соотношением, которое содержит только S-матрицу и совсем не содержит
волновой функции.
При таком подходе мы вообще не должны вводить потенциал V(x); вместо него
следует говорить скорее об асимптотическом значении fo(t) амплитуды
рассеяния f(E,t), которое содержит в другой форме ту же самую информацию,
что и потенциал. Следуя процедуре, предложенной впервые Мандельстамом в
релятивистской теории, Бланкенбеклер и др. [10] ввели представление
(11.7) в соотношение унитарности (0.13)
?lmf(E, t)=jf(E, tJfiE, t2)dQq,
/1==(к, - q)2 = 2?2(1 - cos fy), (1L9)
t2 = (k^ - q)2 = 2k2 (1 - cos ¦ftj).
Подобным образом они нашли уравнение непосредственно для двойной
спектральной функции р(?, t). Выкладки несложны, если воспользоваться
следующей записью интеграла / [см. формулу (11.3)]:
г dQ.q л 1 1
~ J {A - XfVq) (B - VrVq) ~ ЛЛ J Н (ф) ф - COS #
Фо
Фо == АВ + У (А2 - \){В2 - 1), (11Л0)
н (ф) = Y (ф - ABf - (Л2 - 1) (В2 - 1).
Используя формулу (11.10), для р-(?, t) находим
СО оо
р(?, 0= J a(Pi) J а (Р2) К(?> Р?) d\i2 -
m m
со со со
-wi dt'p J dE'i?=ir J * ft. pVp+
0 0' m
со со со CO
+^r J dtx j" dt2 j dEl j dE2 x 0 0 0 0
Xb'-b-ub'^+uKP' ft ^ ft)> <1U1>
§ 4. Унитарность и представление Мандельстама
181
где
К(Е, f, tx, t2) =
п е | f _ *, _ t2 - Щ- - [1б?* + 4? (<1 + /s) + *A]v, J
{?[^-(т^+^1)2][t-ivu-vm-tt^ '
Несмотря на кажущуюся сложность уравнения (11.11), решение его крайне
