Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
области Р, за исключением множества В точек, для которых однородное
уравнение GV/(fe)гF = Ч,, имеет решение.
Когда k0 не принадлежит В, резольвентный оператор R (?0) = [ 1 - GV
(?0)]-1 существует. Так как оператор GV(k) непрерывен, существует такая
окрестность U точки &о> для которой
\GV{k)~OV{kQ)\< 2|-^о),-. k?U.
Пусть
S=/?(*o)[l - GV(k)]=l-R(k0)[GV(k) - GV(k0)]=
= 1 -К.
Поскольку |#С| <*/* при k?U, оператор S-1 можно представить в виде ряда
Неймана
= 1 +К + К2 + К3+ ....
Это разложение равномерно сходится и представляет поэтому голоморфную
векторную функцию. Следовательно, функция
R(k) = S~l(k)R(k0)
также голоморфна в области U. Отсюда ясно, что резольвентный оператор
R(k), исключая собственные значения, аналитичен в области Р, так как
оператор GV(k) непрерывен при Im k 0 и оператор R(k) также непрерывен при
Im k 0, за исключением, быть может, точки k-О, которая может принадлежать
множеству В.
Когда вектор к принимает комплексные значения, сходящаяся волна перестает
быть ограниченной, и ее нельзя представить элементом пространства С. Эту
трудность можно обойти, если ввести в рассмотрение новое пространство С'
непрерывных функций с нормой
W Ц. = sup (х)|.
X
§ 4. Аналитические свойства оператора резольвенты 155
Здесь а - некоторое фиксированное положительное число, которое будет
выбрано позже.
Рассмотрим теперь нормировочное преобразование, отображающее пространство
С на С',
ф' (х) = еах$ (х).
Это преобразование приводит уравнение (10.4) к следующему виду:
Ч (х) = ^ J v' (*') * (х')
(10.12)
где
V'(x') = ea*'V(x').
Все сказанное выше относительно уравнения (10.4) можно отнести и к
преобразованному уравнению
(10.12). В частности, если предположить, что при а <т
со со
J x\V' (x)\dx = J хе**] V{x)\dx < оо,
О - о
то можно утверждать, что резольвента R(k) уравнения (10.12) имеет в
пространстве С ту же область голоморфности, что и резольвента R'(k) в
пространстве С'. Падающая волна'fo -ехр (/к • х) будет теперь голоморфной
векторной функцией в пространстве С' и областью определения |Imk|<m.
Отсюда следует, что функция
4"(k) = R'(k)V'0(k)
голоморфна в области
|1шк|</те, Im?>0, (10.13)
при условии, что k, не является собственным значением. Положим 'P/ =
'4fo-|-4fb функция Ti будет голоморфной в области (10.13) при
фиксированном х, а если и к принадлежит к этой области, то также
непрерывна и ограничена по х. Непрерывность следует из того, что сильная
сходимость по норме в простран-
156 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
стве С' ведет к сходимости в точке; поэтому если элемент <р(&)
пространства С' имеет производную по k, то функция ср(х,&) также имеет
производную по k.
В заключение отметим, что в силу уравнения
(10.12) функция '4ri является произведением ограниченной функции на
ехр(-ах) и поэтому 'Fi также ограничена.
§ 5. Амплитуда рассеяния
Конечной целью нашего исследования является амплитуда рассеяния. Введем
новые переменные
р = 1(к + к0 = Яе, /" = #_!,
А = к'- к = Ле', А2 = ^ = 2?2 (1 - cos -0-),
е • е' = 0, е2 = е'2=\.
Эти переменные более удобны, чем угол рассеяния.
Согласно формуле (10.11), полную амплитуду рассеяния можно разбить на две
части;
f(E, t)=f0(t) +h(E, t).
Здесь функция f0(t) представляет собой так называемое первое борновское
приближение и зависит только от t:
Ш = I е~1А"У(х)<Рх.
Ясно, что f0(t) регулярна в области |1шА|<от. Обратимся к функции fi(E,
t)-, подстановкой
'F13 (х) = Ч? (х) g'pftex
уравнение (10.5) преобразуется им к виду
W* = Wl + = Yg + ??,
Yjj(x) = exp - /-y e' • x + /(Я + p&) e • xj, (10.14)
Gp (x, x') = G (x, x') exp [г?ре • (x - x')J.
Параметр p нужно выбрать так, чтобы возможно полнее использовать
распадное или ограниченное пове-
§ 5. Амплитуда рассеяния
/57
дение функции Грина на больших расстояниях. Это поведение имеет место при
условии |р|^1. Если к тому же
j(ImA)2 + [Im(P + pyfe)]2</re2, (10.15)
то функция Ч'о будет элементом пространства С'. Покажем, что при
фиксированном х - аналитическая функция ? и А в области (10.15) с точкой
ветвления при ? = //4, разрезом вдоль положительной действительной оси Е
и конечным числом сингулярностей на отрицательной действительной оси (они
соответствуют связанным состояниям). Воспользуемся рассуждением § 4.
Разрез вдоль положительной действительной оси и сингулярности,
соответствующие связанным состояниям, образуют спектр G. При
фиксированных ? и А Ч7? - непрерывная и ограниченная функция X.
Рассмотрим теперь формулу для fi{E, t)
h (Е, t) =
~ ~ Ш J ехР [-* Т е/'х-^ (^*+Р^)е 'х] V(¦*) 47i (х) d3x,
причем в области (10.15) интеграл существует. Точка ветвления при E = t/4
исчезает после интегрирования, в чем нетрудно убедиться, совершая простую
замену переменных. Поэтому функция fi(E,t) регулярна в следующей
последовательности областей (для разных р):
i (1ш Л)2 + [im (|А -4 + Р< т2. |Р|<1, E$G.
Очевидно, что всегда должно иметь место неравенство |1шА|<2пг. Легко
убедиться, что задание областей аналитичности можно осуществить и по-
