Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
другому;
| Im А | < 2tn, E(fcG,
Im
У Е~\-\ыУЕ\<У от2-(10.16)
158 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
Все, что известно относительно неюкавских потенциалов, содержится в
(10.16) (юкавские потенциалы имеют, конечно, много большую область
аналитичности); покажем это.
а) Большой лемановский эллипс. Если величина Е действительна и
фиксирована, то из соотношения (10.16) получаем
(Im А)2 + [im "j/"Е - J < m2. (10.17)
Вводя угол рассеяния д, имеем А = 2 У~Е sin (0/2). Границы области
(10.17) выразятся через О в виде
ch(ImO)=l + -^-. (10.18)
Равенство (10.18) является уравнением для большого лемановского эллипса
[функция f(E, t) аналитична в малом эллипсе ch(ImO) = 1+т2/2?].
б) В то время как результаты пункта "а" были уже нами получены при
изучении разложения по парциальным волнам, до сих пор мы ничего не знаем
относительно аналитических свойств на комплексной плоскости Е при
фиксированном А. Можно утверждать, что точка ? = 0 попадает на границу
области аналитичности, если |А| =2т. Если же |А|<2т, то любая точка
плоскости Е, не принадлежащая G, является регулярной точкой.
Докажем это утверждение. Так как |ReA|< < У Am?- (ImA)2, то достаточно
только установить неравенство
1т|/ (10.19)
Неравенство (10.19) можно записать и в другом виде:
§ 6. Асимптотическое поведение при высоких энергиях 159
Возьмем теперь вещественную и мнимую части от k2 - P2 = A2/4 = t/4:
(Im Pf = (Re Pf + (Im kf - (Re kf 4
-+-|(ReA)2-|(ImA)2, (10.20)
(ImP)(Re P) = (Imk)(Re k) - \(ImA)(Re A). (10.21)
Используя неравенство Шварца, из соотношения
(10.21) имеем
(1тЯ)2(КеЯ)2<-
< [(Im kf -J- j (Re A)2] [(Re kf4\ (Im A)2].
Чтобы исключить отсюда (Re/3)2, используем равенство (10.20)
(Im Я)2 < [-lm-- l] [(Re kf 41 (Im A)2] 4
4 (Im kf + (Re A)2.
Это неравенство противоречиво, если только не требовать, чтобы
(ImЯ)2<(Im?)24-j (Re А)2 < (|Im ?|4-b|ReA|)2. Таким образом, наше
утверждение доказано.
§ 6. Асимптотическое поведение при высоких энергиях
Изучим теперь поведение амплитуды рассеяния f(E, t) при |?|->оо при
произвольной фиксированной действительной величине А. Амплитуда f(E, t)
задана на комплексной плоскости Е с разрезом, который соответствует Im
k^-0. Если потенциал удовлетворяет условию
оо
J хеах\ V(x)\dx < оо (10.22)
о
160 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
при некотором а>0, то, следуя Унцикеру, можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Аналитическое продолжение функции f(E,t) по Е для
произвольного действительного фиксированного t удовлетворяет условию
lim f(E, t) = f0(t),
I E |->oo
причем предел сходится равномерно вдоль всех направлений в ^-плоскости с
разрезом Im У Е > 0.
Когда предел берется вдоль действительной энергетической оси,
сформулированную теорему можно несколько усилить в том смысле, что
высказанное в ней положение оказывается справедливым и при более слабом
условии на потенциал, а именно если
СО
J \V(х)\хп dx < оо, п~ 1, 2. о
Последнее утверждение можно доказать, слегка изменив приводимое ниже
доказательство теоремы 1. Первое доказательство этого утверждения можно
найти в работе Клейна и Земаха [57]. Ограничимся этим замечанием и ниже
не будем специально останавливаться на частном случае предела вдоль
действительной оси.
Чтобы доказать теорему 1, допустим на время (позже мы ослабим это
требование), что потенциальная функция V(x) непрерывно дифференцируема и
обращается в нуль при x>R.
Возьмем уравнение (10.14) при р=-1:
Т' (х) = exp ?- i е' • х + / (Р - к) е • х] -
1 r Лк[\ х-у|-е-(х-у)|
-Ш J - |х у 1 УЩ)Ч'Ъ)<РУ- (10.23)
Уравнение (10.23) следует рассматривать как функциональное уравнение в
пространстве всех комплекс-
§ 6. Асимптотическое поведение при высоких энергиях 161
нозначных непрерывных функций с конечной нормой, определенной в § 4, т.
е. нормой вида
imin = supe-"*|-tF'(x)|.
X
Рассмотрим далее интегральный оператор (G'V)2, ядро которого имеет вид
1 . Jk 1 х 11 "Ik 11-у |
(10.24)
В качестве начала координат при интегрировании в
(10.24) возьмем (х+у)/2, а положительную ось ts направим к точке х.
Введем далее эллиптические координаты ф, г), g с фокусами х, у (хфу),
= [(I2 - d2)(\- т)2)],/г cos ф,
h - [(I2 - flP)(1 -112)] /2 sin ф,
h = 1*1.
- 1<T1<4-1, 0<ф<2я, где с?=(72)1х - у|. В этих координатах d3t= |х - t||t
- y\d%dx\d(p.
Тогда интеграл в (10.24) [обозначим его через Н(х, у, А)] примет вид
2 л +1 со
Я(х, у, А) = j dtp j dt\ j emW(l, ц, ф)d\.
0-1 d
Интегрирование по частям no g дает желаемый множитель 1/A
i Jk I x-y |
//(x, y, A) = T lx_y| F(x, y, A),
( 2я 1
F(x, y, A) = id | j dcf j V(d, tj, ф)й?11 +
lo -1
2я 1 oo "J
+ J dq> J dr] J e2tk и-^)--(П. ф) dl |. (10,25)
0-1 d J
Функция F(x, у, А) равномерно ограничена при всех
х, при y<R и Im А>0.
Н Зак. 18
162
Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
Докажем последнее утверждение. Если отвлечься от тривиального
интегрирования по углу, то первое слагаемое в правой части (10.25)
является не чем иным, как интегралом от потенциала вдоль отрезка прямой
