Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
координатном пространстве. В основу всего рассмотрения можно также
положить уравнение Липпмана - Швингера в импульсном пространстве, тогда
окончательные результаты можно получить даже более просто. Уравнение
Липпмана - Швингера для парциальных волн весьма эффективно при изучении
асимптотического поведения вдоль мнимой оси X (см. гл. 8). Возможно, что
это вообще единственный путь получения такого рода информации. В
настоящей главе будет рассматриваться главным образом уравнение Липпмана
- Швингера для полной амплитуды; .изучение этого уравнения служит первым
шагом в доказательстве представления Мандельстама.
Перроначальный метод Баукока - Мартина [17] получения двойных
дисперсионных соотношений (улучшенный впоследствии Бланкенбеклером и др.
[10]), нельзя считать совершенно строгим, поскольку в нем используются
многие никак не оговариваемые замены переменных интегрирования, а также
поскольку из него ничего не следует относительно проблемы вычитаний при
записи двойных дисперсионных соотношений. В то же время этот метод
неоценим, когда нужно рассматривать вклады от каждого порядка теории
возмущений. Он представляет просто нерелятивистский аналог разложения
Фейнмана - Дайсона для амплитуды рассеяния. Использование его позволяет
более просто сравнивать методы и результаты теории потенциального
рассеяния с методами и результатами полной релятивистской теории.
§ 2. Метод Баукока - Мартина
171
§ 2. Метод Баукока - Мартина
Этот метод исходит из уравнения Липпмана - Швингера для полной трехмерной
амплитуды T{k\ к{, кг), заданной вне энергетической поверхности,
T(fr, кр кг) = -^-xKlk/ -к,.|) -
со
^(1к/-q 1)V"-a-T{k'q> ki)d3q- (11Л)
о
Амплитуда Т(k\ к*) определяется соотношением
T(k; kf, к,) = -j etkrxV(x)'P(b кг, x)d*x,
где в свою очередь волновая функция Ч*- (k; k(, х) (в соответствии со
сказанным в гл. 10, § 3) определяется как решение интегрального уравнения
W(k\ k" x) = elki * -
J -ifi-^-yl)-y(y)y(^k< У)а%
причем, когда ki=kj = k, T(k\ k/, k,) =F(k, cos Ф).Функция t>(|kj-k,|)
является фурье-преобразованием потенциальной функции; она непосредственно
дает первое борновское приближение для амплитуды Щ; к/, к,)
(| к, - к, |) = JV V (х) d*x.
Решение уравнения (11.1) можно искать в виде формального борцовского
разложения, или ряда теории возмущений
СО
T(k] kf, k(-> = 2 Т'/" k/5 k(),
И = 1
Г,(A; kf, k,)= -jj-vflk, -к,|), Tn{k\kf,ki) =
=4? Jk> q)/ ?-l?-7ГT^k' q* k^-
172
Гл. 11. Представление Мандельстама
Мы будем интересоваться аналитическими свойствами каждого члена
разложения по переменной
cos + -№-*/)•
C0S v 2ktkf
не заботясь пока о сходимости всего разложения в целом. Ограничимся
рассмотрением юкавских потенциалов
ОО
V (х) = x~l J а (ц) е~^хd\i.
m
Переменные k\ kf будем считать фиксированными.
Аналитические свойства первого борновского приближения Ti очевидны из его
следующего выражения:
ОО
T,(k\ kf, k,)=- f , ч(ц)# (112)
u f 2ЙД- j cosfl-(^ + 4 + ^)/2*A
Амплитуда Tl имеет разрез, начинающийся при cos'd- = k^-\-k2l-\-ni2J2kikf
и уходящий в бесконечность. На энергетической поверхности, т. е. при k =
ki = kj, этот разрез занимает интервал 1 + (m2l2k2) ... оо.
Перейдем теперь ко второму борновскому приближению Т2. Для него имеем
T2(k\ kf, к,) =
оо
__ 1 ¦ f d$q Г______________________ff(Pi)rfPi _v
8n2kfkt J q2 {q2 - k2 - it) j (q2 + k2f + ^j2qk f -
CO
g (P2) Ф2_________
xj
(?2 + */ + Ma)/2-v<-ve ' где
к/ к i q
vf=Tj' w^-kr v* = 7-
Единственная возникающая здесь трудность - интегрирование по углам.
Структура интеграла • по
§ 2. Метод Баукока - Мартина
173
угловым переменным следующая:
, Г_____________dQ4___________
J {A - Sf vg) (B - vr Vg) '
где
я2 + D я2 + k] +
2 qkj ' 2^/!;
Чтобы вычислить этот интеграл, воспользуемся известным фейнмановским
интегральным тождеством
U.
i-J
(да: -|- Ь)2 о
и преобразуем интеграл / к виду
СЮ
/= J dQ4 J [Ax + B-Vg.(Jcvf-\-Vl)]
2
L - ¦*'*• I v-'v * Г i 11Л
0
Если направить теперь новую полярную ось вдоль вектора xvf+Vi, то
интегрирование осуществляется особенно просто, и мы приходим к следующему
результату:
сю
1 dx (11.3)
Ф - V/ - V/ X '
о
где
Ф =4 [и* - 1) * + (№ - 1) 1 + 2ЛЯ].
Итак, амплитуда Т2 обладает такой же аналитической структурой, как Ти т.
е. Т2 также имеет разрез по cos •0, начинающийся от минимума Ф по
переменным х, q, pi и р2- Этот минимум легко вычисляется алгебраически.
Приведем здесь только результат
тшФ=*1±^+^ + ^>г .
X, q 2RiRf
Поскольку обе величины pi и р2 пробегают значения, начинающиеся с пг, а
интегрирование по q не ведет к каким-либо дополнительным сингулярностям,
то разрез начинается при
114
Га. 11. Представление Мандельстама
Очень важно то, что амплитуда Т2 обладает той же аналитической
структурой, как и Tt; поэтому мы можем продолжить рассмотрение для
амплитуды Т3 и последующих борновских членов. В результате получаем, что
п-й член разложения Тп имеет разрез по cos ¦б', начинающийся при
k\ k2:-\- n~m2
ch а" (ki< kf) - 2kikf '
