Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
получению дисперсионного соотношения по энергии для действительного
фиксированного значения передаваемого импульса. Это дисперсионное
соотношение впервые было выведено Кури в 1957 г. [58].
Положим \t\<4m2. В этом случае функция f{E,t) регулярна на всей плоскости
Е, кроме точек спектра, заполняющих положительную действительную полуось,
и конечного числа простых полюсов на отрицательной оси, соответствующих
связанным состояниям. Применим теорему Коши к интегралу
где в качестве пути интегрирования Р выбрана достаточно большая
окружность на плоскости Е' с вырезом, охватывающим положительную
действительную полуось, а также сингулярности, соответствующие связанным
состояниям. Точка Е' = Е содержится внутри области, ограниченной путем
интегрирования. Имеем соответственно
Устремим радиус круга в бесконечность. В силу результатов § 6 ясно, что в
пределе вклад подынтегрального выражения на границе круга исчезает, и
равенство (10.35) переходит в следующее:
р
/=/(?, t) -h{t).
(10.35)
I = f(E, t)-f0(t) =
со
0
ft
Используя (1Q.34)i окончательно находим
со
со
§ 7. Дисперсионное соотношение Кури
167
Равенство (10.36) является классической формой дисперсионного соотношения
Кури.
Величины gn(t) появились как вычеты функции /(?, t) в особых точках Е" на
плоскости Е, причем оказывается, что gn{t) пропорциональны полиномам
Лежандра, порядок которых равен угловым моментам I соответствующих
связанных состояний. Доказательство этого положения намечено ниже.
В окрестности особой точки Е - Еп решение волнового уравнения имеет вид
чг(х)=й^+х(^. х).
причем функция % регулярна по Е при Е=Еп. Функция Ч'п(х) есть решение
однородного уравнения
Wn = GVWn
(при k - ib, Ь2 = -Еп) и является волновой функцией связанного состояния.
Отвлекаясь от случайного вырождения, можно утверждать, что это связанное
состояние имеет определенный угловой момент /, а его волновая функция
имеет вид
(х) = ф (*)/>, (cos d), cosO = -^,
так как ЧДД, х) не зависит от азимутального угла. Подставляя Ч'гДх) в
формулу (10.11), находим, что величина gn(t) равна
gn(t) = - ^ J ^-,к' х1/(л:)фл(х)Рг(со5 0)й?3д:.
Отсюда после интегрирования по углам получаем ga (t) = - (21 п + 1) спРп
(•- 1),
где с" - некоторые действительные положительные константы. Значения с"
можно найти, обратившись к разложению по парциальным волнам
СО
f (Е, /) = 2ЙГ 2 W+ 1) (1 - 2f) - 1 ]-
1=0
168 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
Если Е - Еп =-Ь2, то единственным сингулярным членом в разложении будет
iP'.+ oMi-iK-p-
В окрестности Е = Еп величина Sin(E) имеет полюс вида
d\S, (fi)]-1
[S,n (?)]"' "(Я_ЯВ)_-!-^-!-
Из соотношения (7.7) имеем
dE
Е=Е_
с-i = (-!)" 2А-
Г[У*>Г
dE
В заключение укажем на связь аналитических свойств f(E, t) при Im k О и
для фиксированного t при |/|<4щ2 с разложением по парциальным волнам.
Отметим только наиболее существенные моменты.
Вместо (9.16) для амплитуды рассеяния можно получить интеграл вдоль пути
С, окружающего по часовой стрелке все точки 31 = /+'/г, где I не может
быть целым отрицательным числом,
р\-Ч,(с°я'
ЦЕ. =
cos яА.
y2)[s(A, k)-\\dX.
Его можно преобразовать к интегралу по мнимой оси X [вклад полюсов S(X,
k) при Re i>0 нужно будет обсудить особо]. Сходимость интеграла можно
исследовать по методу гл. 9. Если заменить X на -X, путь интегрирования
изменит свое направление на обратное, а так как величина ХР%_у (cos •&)
(cos лА)-1 является нечетной функцией X, то интерес представляет только
нечетная часть О выражения
<*+%>[$ (Л, k)- 1],
§ 7. Дисперсионное соотношение Кури
169
равная
0 = sinnX (- к, k) - e~uxS(k, k)],
поскольку только эта часть и дает вклад в интеграл. Однако в силу
соотношений (5.13) и (5.21)
т. е. О является мероморфной функцией k при Im k>0.
Итак, мы видим, что для f(E,t) при 1т&>0 и фиксированном t имеются только
такие сингулярности, которые соответствуют связанным состояниям (мы не
касаемся довольно трудного вопроса о равномерной сходимости
соответствующего интеграла при Im &>0).
Разберем подробнее, как возникают такие сингулярности. В силу
аналитичности по к и возможности соответствующим образом деформировать
путь интегрирования, полюс подынтегрального выражения, вообще говоря, не
ведет к сингулярности. Если k будет меняться в области 1т&>0, то полюсы
будут блуждать на плоскости к. До тех пор пока они находятся далеко от
физических значений, вклад их равен
Никаких сингулярностей в этом случае не появляется. Если же значения к
становятся физическими, sinjt/n = = 0, и мы получаем простой полюс для
f(E,t), который при 1т&>0 (в согласии с гл. 7) может возникнуть только
тогда, когда величина k чисто мнима. Ясно, что эти полюсы соответствуют
связанным состояниям системы.
О = sin л к -}
2 ikk
j(K,-k)f(-X, -кУ
и так как
то
ГЛАВА if ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАНДЕЛЬСТАМА
§ 1. Вводные замечания
В предыдущей главе было показано, как аналитические свойства амплитуды
рассеяния могут быть получены из рассмотрения волнового уравнения в
