Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г 85 и записать ответ в компактной форме
Q=Jtll
Видно, что малым углам рассеяния в -^k- J отвечают больїіші
прицельные расстояния ^J ^ . Поэтому разложим выраже ние справа равенства в ряд по малому параметру —« /
ограничимся первым отличным от нуля слагаемым, а другие отбросим как малые более высокого порядка, В результате находим связь между Q и р в случае малых углов рассеяния;
a^rCCOS
S о
OO
г
+ j при о «/.
70. Полярная ось служит осью симметрии траектории,. Максимальный угол ^ffrrjajc отклонения частицы от указанной ос^ симметрии найдем, полагая (р— ^rnajc и Г= в уравнении траектории, что дает
/ 1
f - -L- arc СО Э
'пах Cr Л 2бМ*Сг
Угол рассеяния 9 связан с углом cPrr^cux. соотношением 2iH + Q=Jt » а прицельное расстояние р входит в абсолют—
I7IOJC J
ную величИНу момента M-rrtjO ZA^a , где '^Lj- модуль скорости частицы в бесконечно удаленной точке траектории с координатами ґ ~ <=*=> и 1P~ ~ lPniQ? • Поскольку при потенциальная энергия частицы обращается в нуль, имеем <5 = ^ п 2 <? °° — 2ггъбf> % Полученные соотношения позволяют записаті
связь между Q и Ja в следующем виде:
в -X- 2 CLfcCQб __I----- - .
Ьар WHWnt^pJ
Если частица движется в центрально-симметричном потенциальном поле, которое по модулю монотонно обращается в нуль н-бесконечности, то малым углам рассеяния Q«. 7 отвечают 86 большие прицельные расстояния. Разлагая правую часть равен»« ства в ряд по малым параметрам —~г<<:7 и /__ <€.. -j , по—
лучаем
P _ УТд jf_
71. dfr= -Ir R2dQ , ^--ЛГ/К
72. Обозначим через с*, угол наклона касательной в точке падения частицы на данную поверхность. Так как угол падения равен углу отражения, то из симметрии траектории относительно нормали, проведенной к поверхности в указанной точке, можно написать ZoC = в , где Q - угол рассеяния. После этого вое» пользуемся соотношениями tqoC- d ^ [^l P » где P - при-
цельное расстояние падающей частицы. Эти формулы позволяют найти связь между углом рассеяния 9 и прицельным расстоянием P в неявном виде ?п - J^it3Q. , поскольку переменная
J ах
SC выражается через ? при помощи равенства -f(pc)-? .
а) Полагая f(cc) - a(2§JZ-JO2J , находим ^ j6L _ ^a Cg^ccJ
2 Z 2
YL &[$- (tf-Jc) J — p • Откуда следует искомая связь р-CL^ -
прм оі0*%мАпявт^гагсі$(гаЄ) -
максимальный угол рассеяния. При помощи известной формулы получаем дифференциальное сечение рассеяния
. 2 A-
jff=JH^I2-2— da при О ^ B^Qt
32 аГсо5*-&-
тазс ?
2
е/Є= О при в < Q ^Xx
та je 7
б) ^g = A и/>°'й^ dQ при O^ в^ 6
Sin f-COS -f rriOLX >
der=0 при Qmaj<Q±JC , где QmaJr 2arct(j (a f>0) •
в) 4а- ПРИ tf ^ 0 ^ Orr7a-T ,
Sin -я- соь 5 _?_ max і
d*= О при Л . где ^r7ajc=2арЫ?{а%)Ъ1 7а
74. ff - 2curCc?q -dflf2)
' df
75. de — ~7Ї з—24. г n ----
76. Как и в задаче 68, находим связь между углом рассеяния д и прицельным расстоянием р в следующем виде:
P2=. - + / .
^ Г (5 (2Л-&)0
Для вычисления дифференциального сечения рассеяния воспользуемся формулой de~2Zyc/? , тогда получим
J6-- Ji2CZ JC-Q
? (2Л -Qpdz SCn Q '
где принято во внимание, что величина de должна быть положительной.
77. Проводя рассуждения,аналогичные задаче 70, определяем связь между углом рассеяния & и прицельным расстоянием р 2 ,
f " i~ft~) (іїФжг /.
Далее при помощи формулы d& ~2Яр dp находим дифференциальное сечение рассеяния
"78. Целесообразно использовать общую формулу рассеяния на малые углы в сферически-симметричном потенциальном поле [/ (Г) , которую представим в следующем виде:
OO
Полагая U(F)-U0 вэср Зе Г2) , приходим к известному интегралу Пуассона, так что окончательно получаем
.88
&-J.--J-j^j- Є OCp {-def }, и+аеуг)Ф
80. Здесь полезна общая формула рассеяния на малый угол со
С du(p) dp } SJ dp
где U(f)- внешнее сферически-симметричное потенциальное поле, в котором рассеивается частица . В рассматриваемом случае ИМееМ со
0 =
_ ScLf I
е J P4VPr^ра'
г Г S
Замена переменной интегрирования = % упрощает взя-
тие интеграла
Q - За f ? c^t _
" 2??* J YJiy 6fa
Окончательно 0
9eh
81- fcXl/Wif
* 4 2
83 ___(Лес)3 6 ЛЯ #
(Yf2+ 2ЛаЄв'- Є) 3 У S 2^ 2 JTat B 0
84. Радиальное движение частицы с энергией S и массой т в центрально-симметричном потенциальном поле U(f) будем рассматривать как одномерное в элективном поле U Af)-
~ Zm ї- 2 ^ U(t') . Здесь величина W(г) обращается в нуль при
P —>-oe I
а модуль момента M у?зависит от прицельного
расстояния f> , которое имеет различные значения у падающих частиц. Чтобы падение частиц в центр потенциального поля притяжения было возможным, функция U- U(r) по модулю должна обращаться в бесконечность при р Q быстрее центробежной M2
энергии ¦ 2 . Предположим также, что при P —функция 2т P 8с) XJ ~ Ufr) стремится к нулю быстрое, чем 7-у ~~—. В этом слу~
О г:гг} t"-
чае эффективное поле U9^Jt")-- -jfj? + U(г)в некоторой точке достигает максимума, который называется высотой потенциального барьера для частиц, совершающих одномерное радиальное движение. Видно, что для каждой частицы с фиксированной энергией <? высота потенциального барьера зависит от ее прицельного расстояния. Обозначим через рп пороговое знач е-» ние прицельного расстояния, при котором высота потенциального барьера совпадает с <§ . Тогда для частицы, движущейся с прицельным расстоянием р > pR , высота потенциального барьера больше , а при P-cP0 меньше <$ . Это означает, что частицы, налетающие на силовое поле с прицельными расстояниями р > J3fj , отразятся от потенциального барьера и будут двигаться в обратном направлении, удаляясь от центра потенциального поля притяжения. Напротив, частицы с прицельными расстояниями р рп пролетят над потенциальным барьером и Jiiaдут в центр. Число частиц, упавших в центр в единицу времени, вычисляется по формуле /V - Jip2 J , где J- — плотность потока налетаюших частиц. Следовательно, эф»-фективное сечение падения частиц в центр равно <?>~~ ^prr -
