Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
о /1 -ґ
іV-W6^ " , где величина CJ и комплексные посто-
7 1 у 2 е.
яь.ные L1 и C2 подлежат определению. Реальнее или мнимыь части велhmjih C7 и C2 совпадают с обвешенными координата-N41 Cfr1 и . Подставляя искомъе функции C1 elc0^w С( = C2C в уравнения движения и сокращая ;;а обший множитель*?4' , приходим к системе однородных алгебраических уравнений етноси тельно Cj и C2 :
(3 - 2СО Р)Cf + ( CO2-J J C2 = О?
(J - са) 2) С т ( 5 с.J - Ц) C2 - с/,
Приравниваем нулю определитесь этой системь и получаем характеристическое уравнение сл!> ^ " 3 СО*г 2= О s при помели которого нахедим соСственные частоты сО„-f и ма—
"ых колебаний. Далее подставляем первую частоту в одя<.
из алгебраических уравнений (второе является следствие:-
первого) U С41рецеляе\! СВЯЗЬ C{J^~2CJ/^ МвЖДу коэффициента~ ми Cj^ и C7J^ . Верхний индекс "/ отмечает их прішад-лежность первой частоте с*), . Пелесообразно ввести обозначение CjtfL О^Vt^J и С2(/'=. J-CljQ1^f с вещественными величинами (Lj и T^ , чтобы представить комплексное решение, отвечающее частото сОу , в удобном виде
Г7)j ? і Cff)],
Комплексное решение, отвечающее второй частоте по-
лучаем аналогіріно
a}21=а2ехр[il\7t Ij^ а^= і¦*¦%)].
^poluee реи .і е н и c^ ^ rvm 11 <; у .\ • \ і е вкладов от обеих частот: Ct. + Qf- И Q2 = Qi/' + ¦¦ Чтобы ПОЛІЧИТЬ H Cjsg , ВОЗЬ--
мем реальную часть от n-tПленных величин U-j и ^tfg .. что да— ет
Cjr=OLjCOS (t+f. j S-Cl2 cl>5(V?t qf соь(it f7)-a2 coo ( VFt і %),
где произвольные постоянные <Я , Ob2 , у и V? определяются из начальных условий. ^ ^
.102 Видно, что каждая обобщенная координата ^ и со~
ВершаЭТ движение, КОТОрОе ЯВДЯЄТсЯ ОуГіерПООИЦИеіі _ IipOCTblX
гармонических колебаний CCf CVS (t + ) и Clz СО<5 (]/2І /- у^ J Последние называются нормальными колебаниями;
б) C^ _ CLj СО5 (VFt + Yj)COS (V3 і + J=-CtrCK (VFitf1) t CLe со 5 (j/st-f <f2)
в) Ji= UrCOS (VFt+ cF1)+CLp C^З +%),
СОа (^1 / * yT ) + ^ afHvT "ifZ )'>
г) ^ ha^cosfyTt
у = - Ci1CQblti- Y7 ) +Ct2 coo ( V^ti- Y2).
118. а) Оіагаек.ь.е в функции 'Іагранжа Z - ^
/—^ + ^^квадратичные относительно обобщенных скоростей,
описывают кинетическую энергию данной механической системы, в то время как другие слагаемые, не содержащие обобщенных скоростей, представляют потенциальную энергию U= (-^-ъ+ ~т /
/2^. fz) , которая входит в L со знаком минус. Б точке устойчивого положения равновесия с координатами и ^^
потенциальная энергия имеет минимум и выполняются соотно— шения&U(%fl%2)/tyj = 0 и • Гаскрь;вая про-
изводные. приходим к результату ^fff= ^ ' (^>тклонение от
положения равновесия обозначим так:лг, =¦ а о» где
/Ifii і '7 г 07 ' ё! O^.
Xf і «I njXjl«/, так. как колебания малые. Разлолим кинетическую и потенциальную энергии в ряд по матым отклонениях« от положенім равновесия и сохраним слагаемые не выше второго порядка малости относительно Xj и X-. В результате функция Лагранжа, описывающая малые колебания, примет вид:
L -- / (х*+ -^rfa* + з X22 f 2 JC1
Тем же способом, как и в предыдущей задаче, определяем собственные частотыOJ1-2 и ~ Yi , а также величины CC^ и X0 в виде суперпозиции нормальных колебаний. В итоге обобщенные координаты запишутся так:
Ц = /> Ci1COS (2t + Y1)ta2cas(Vit + Yz),
103 V2 = r + U1 CMS (Zt-Kf1)-Os2COd (Vzn-V2)j где CLf , CL2 , Yr и kF2 ~ произвольные постоянные;
б) ^ = COS (t + ^ji-GL2 (і/З t-f- Y2)} ^/-oc7a?s(t+Yr) + a-2 CMs(V3t+ f2) •
в)
%- /^ (f t + Yj j CO5(ф ^2J •
r) c^3 ( ^ f ff I ta2cod (Vi-ir^ Y2 ),
Iz - ' - (V21 + Y1J1- COS (Vf t / cT2 I,
119- f= Sin2t-Vz Sl n Vlt7 f-Sin- Zi V2t-
б) Vd 4 Sin^-sin. Vb t;
в) ^ =:2(cos 1VJt); ^COSyL-Ca5 VStj
r) ^ - COS t ~ COS Vety cost + ~ CQS Vet.
120, Обозначим JC1 и OO2- отклонения материальных точек от их положения равновесия, тогда потенциальные энергии трех пружин запишутся как кOCj /2 » к (ZOg-Z^7 JZ/2 и к X2/2 <¦ Функция Лагранжа механической системы равна разности кинетической к потенциальной энергий:
fx*+ CO2o (Ocf7^pcf2- OC1 X2 )]? OJ0^ -А. . Решение уравнений Лагранжа
?+соЦ2зсг.^zI=O9 Z^taoo (2X2-X.,) ^=O
ищем в комплексной форме Xcj^x С^Є* , где со и Coc при оС ~ = 1,2 - искомые постоянные. После подстановки указанных функций в уравнения движения получаем
104 ' ? ^20Cr 2 (COz0-U)2) C2=O.
Приравнивание нулю определителя полученной алгебраической системы уравнений дает характеристическое уравнение: 00*-5а)оСОг+ — СО*-Q » из которого определяем собственные частоты сй^ у/г Ci^=J^cJ0Pornaoiio исходным алгебраическим уравнениям коэффициенты C^ и C2 , отвечающие первой частоте о)- , связаны между собой как Cz -
= —С , Б случае второй частоты CcL связь другая;
/ J"
Cb ~ JLLtAgW « Для комплексных коэффициентов введем обозначение 2^tiJJcl g i(fs , где Ct5 И Ycf - произвольные вещественные постоянные C^= <? / . После этого общее решение в комплексной форме, содержащее вклады от обеих собственных
частот, запишется так:
Oi-. .,, -I-,^,
Чтобы найти закон движения в виде суперпозиции нормальных колебаний, вычислим реальные части величин X, и Xp , которые совпадают с координатами материальных точек, тогда получим
