Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
а) В конкретном случае U(г)~—^r эффективное поле
2
7/ (r\- ---^=T достигает максимума в точке/- -ЛЗ— . Вы—
vZtpV ' г3 'гп 2
сота потенциального барьера JJ (р ) зависит от прицельного расстояния как {J^lt^j~ 3 j''р ^ ' ^сли зту величину
положить равной энергии , то получим алгебраическое
уравнение для вычисления порогового значения прицельного расстояния С решением Pn= у з ) 7^' ^ итоге эффективное сечение падения частиц в центр потенциального поля притяжения принимает следующее значени^3.
б) # = ^sr -§*)', в) \ff. її
г)
85. Движение атомов в газе хаотично, поэтому электрон с некоторой вероятностью проходит путь sc перед столкнове—
.90 ниєм с агомом, приводящим к рассеянию. Обозначим черезJ(л) интенсивность пучка электронов на глубине X- от границы газовой среды. Убыль интенсивности на отрезке dзс описывается формулой -cfj'fc)=j(x)бN<??г.Откуда получаем закон изменения интенсивности в зависимости от расстояния сс от границы среды в виде J( J0 еэср JZVJ^H ис л о электронов, прошедших путь от перед рассеянием на отрезке dx , равно &Nfje-Xp^&Nxjd. Если эту велітчину поделить на плотность падающего потокаJ>Q , то получим вероятность d W і Ж 1 того, что электрон пройдет путь ос перед рассеянием на отрезке dx , а именно: d \/V foj-= /(х)(Jгде /- 6"NЄXp &Nxj- плотность вероятности или функция распределения электронов по переменной X . По определению средняя длина свободного пробега электрона вычисляется по формуле
о о
ZJZRNtbB
86. Число частиц уменьшается в є раз.
-і і . -я (R+Rs)2fiJrx
87. J(^)=Jo? 7 •
т
89. Sllbffi .
90. В лабораторной системе отсчета (л-системе) первая частица с радиус-вектором р налетает, а вторая с радиус-вектором Pg покоится._Их потенциальную энергию взаимодействия обозначим как 1/(F^(J. Задача о движении двух
сталкивающихся частиц сводится к задаче о движении одной ча-
т7
стицы с приведенной массойJU- в потенциальном поле
U{г} ^U{IF-J^ll где Ity-J^l), а /7Z7H Vrtp- массы соответственно налетающей и покоившейся частиц, Обозначим через Q^ и Q углы рассеяния первой и второй частиц в л-системе, а Q — угол рассеяния частицы с приведенной массой. Поскольку движение последней описывается радиус-вектором P — P^ - P^ , угол рассеяния ^ определяется поворотом относительной скорости Zr=Fi '"F2 . Следовательно, угол рассеяния частицы с приведенной массой — один и тот же во всех инерциальных системах, в том числе и в системе координат центра терции
91 сталкивающихся частиц (ц-системе). Связь между углами рассеяния следуюшая:
гггР sin G п - л- г>п JnQ=-<---~ , и .
9 1 "If + rri2 соS & г
Частица с приведенной массой ?* рассеивается во внешнем поле U(г) , которое представляет собой потенциальную энергию взаимодействия сталкивающихся частиц. Значит дифференциальное сечение рассеяния этой частицы определяется обшей формулой
в которой связь между углом рассеяния Q и прицельным расстоянием р находится в результате взятия интеграла
У CXZ І
JaCfr
JT О _
2 " 2 - Ґгу7ІШЕГГ^
Го <5 г
где P^ - точка, обращающая подкоренное выражение в нуль; ? =
/и. а
= g-Vcx3 — энергия частицы с приведенной массой, а мо-
дуль ее скорости до рассеяния.
Каждой частице с приведенной массой Jv отвечает одна частица с массой mf , причем их скорости до рассеяния при ^- совпадают:pj c^) . Поэтому совпадают также и плотности потока этих частиц. Кроме того, каждому акту рассеяния частицы с приведенной массой отвечает один акт рассеяния исходных частиц с массами тf и т^, . Следовательно, число частиц с приведенной массой JV , рассеянных на угол О , равно числу частиц с массой /п^ , рассеянных на угол , а также числу частиц с массой /7Tp , рассеянных на угол у . Из этих фактов и определения дифференциального сечения рассеяния вытекает, что дифференциальные сечения рассеяния первой cJ(?j BTopoPidtfpIff2) частиц в л-системе численно
совпадают с дифференциальным сечением рассеяния do'(O) частицы с приведенной массой
d Pf(O7) ^ der (a Jets(Qz) ^det(Q)f
если только углы рассеяния Q , ff^ и @ связаны между собой формулами, указанными выше.
Ради общности рассуждения проведены для частиц с любыми массами rrij и т^ при произвольной потенциальной энергии взаимодействия If{(р^- f^lj- В случае твердых шариков с
.92
одинаковыми массами тгь f - гг%2 - гтг имеем JJ(j f) ~ при
R1 -/ R2 KCf(Iff-F2I)=O /я ~ , а
связь между углами рассеяния принимает наиболее прбстой вид & — 2 G^ и Q= Для частицы с приведенной массой /и — SQ
в 2 находим? ~ (Rf + R2)СО$ ~ и с!B1(B) = ^(RpR2) SinGо!Є . Используя представленные выше формулы, получаем искомые дифференциальные сечения рассеяния первой и второй частиц в л-системе:
dFrt(^rl) = (Rj^R2) Coaefb ClSlrb при >
92 -/JZe2\г dg,
I/Jir^O-VJ=TefT
KmvjLl CosiO2
93. ^-(i^jfsiY-d^0 \ 2/і 6 / cos 9.
J2
94. Дифференциальные сечения рассеяния d&j (Bj)и d&2 (&J для налетающих и первоначально покоившихся частиц (шариков) в л-системе находим так же, как в задаче 90. Поймав в ловушку рассеянную частицу, нельзя определить,покоилась она до рассеяния или налетала, так как частицы тождественны. Поэтому общее число частиц, рассеянных в единицу времени в телесный угол (Lftjc ~2^scnidx равно сумме вкладов от налетавших и первоначально покоившихся частиц:
