Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из первых двух дифференциальных уравнении получаем
Z^r- a $-?гь(соЬ+ос) , Vy-си СОЇ (со і + ос)^ є И
где ,jJ ¦= ^ - , а постоянные <я, и сх^ определяются из на— чальных условий. Интегрируя по времени f: обе части равенств
jJJ-- a, Sin (аН -t ot j ) —jj- - О. caS(cut+aC)^
находим координаты j: и у протока, по которым видно, что в плоскости X Y он вращается по окружности с частотой ^aj Между тем вдоль оси Z согласно уравнению ~ О протон движется с постоянной ckopoctoic -Ссэ . Значит его траектория в пространство представляет собой винтовую линию. ГЗремя, затраченное протоном на преодоление пути С вдоль магнитного поля, равно 6Jії'0 coScC . За это время он совершит число оборотов /V = u.)tили
N ^ SJiL----.
2Л тс bp CffS оС
37. а) Используя выражение I. = ^ , составляем
уравнение лагранжа ^.V-/^ — — 2 . Иго решение у, = —COS ??
отвечающее заданным начальным условиям, находится стандарт-« ным способом.
Решим поставленную озадачу при помощи закона сохранения энергии. По заданной функции Лагранжа определяем энергию
+^ Tt -У5 численное значение которой S=C? берем из начальных условий. Пользуясь законом сохранения энергии
. 2 р . ,---7
$ -ffy S-^fy'-=-С? , находим скорость <р - V-yC^ ~ ^ff2 -
Согласно начальным условиям механическая система из исходной точки c^(O)--J может двигаться только в область —/ -- ^ с положительной скоростью 0< . Движение в область ^c-/ отсутствует, так как trtn: скорость ц. прішимаот комтекс— GG * ' ные значения. Следовательно, перед корнем знак минус следует опустить. Для определения закона движения воспользуемся формулой dt Ч-f , в которой скорость 0 как функция координаты ? 1
определена вьліе. В результате приходим к дифференциальному
уравнению
dt= -JZ-
с начальным условием <J,(0)~~1 . Подкоренное вь'ражение запишем в удобном виде T1Zjz1 тогда при интегрировании можно воспользоваться табличным интегралом. После интегрирования получаем icu^C Sitt у •////- J или у—-со ft)
б) с/Л; в) Cjf = Jr(Є*+Skt-J} .
I2 1
38. а) По обшему правилу определяем энергию б - -f- —
f cP
Сна сохраняет постоянное значен ие? = 7 , которое ьытекаот ид начальных условий. Используя закон сохранения энергии
+ 1—0 , находим скорость - Перед корнем г..-. !;
положительный знак, так как из исходной точки 'J(oj-1 Me.vinntT" ческая CHCTeNja может двигаться только в of> и.сгь 1 q < жителыюй скоростью . Область /^/< / еоцен тупім
при движении, так как в этой области скорость q прпним, . і КОМ ИЛ ЄКСІі Ь:Є ЗНачОНИЯ. Полученное дифференциально-:.' N р. ;;і!і'"Ч!Іі
Jt-
Vf-?
с начальным условием (О)= f интегрируется о юмоч'ырло приводит К закону ДВІГЖСТШЯ ~с/ъ t . ІІОПОГр'-.JC 1 f S. -1Ї«:; о • Дії --фе ренди ровен пом убеждаемся, что найденная обог-щі-шм • ;."_.
пата удовлетворяет \равненто Лагранжа ^ ^ ~ у ?'?
б) ^ - - f/z ch<t . Эта обобщенная координата \ ioi і.-і
от уравнении^ Лагранжа ір і- О
30. а) Задачу следует решать боз непосредственного интегрирования уравнений Лагранжа. Более коротким Hyjtj < • . і осі1 в использовании закона сохранения энергии. Ilo -сланное .|>н;-ции Лагранжа находим энергию S^ •> чпе.н-нпое знач-
ниє которой - / определяется начальными условиями. Ilpn по-
• ' І- "
мощи закона сохранения энергии ^у С ~~ / получаем ске-рость Cj =Vf-C ' - Перед корнем взят положительный -пак, гок как из начальной точки ср(0} - Q механическая система движется в сторону возрастания обобщенной координаты . Область f<0 не доступна для движения с энергией 6-І , так как там скорость a принимает комплексные значения. Из формулы
da .
- -S с учетом выражения для скорости <р- вытекает дифференциальное уравнение
dt -
в правой части которого числитель и знаменатель следует умножить на множитель е ^ . Если внести его под знак корня,
q. i ^
то подкоренное выражение легко преобразовать к виду (е - -j?} - -
Следовательно, при взятии интеграла справа от знака равенства полезна замена переменной интегрирования St , кото-
рая сводит его к табличному. В результате интегрирования находим
t- Arch (2є*+ /)+С,
где постоянная интегрирования С согласно начальнь м условиям равна нулю. Окончательно <j, = 2 бп> oh }
б) y,=rf+ Sin-t • в) 5сґь
Sin-
г) ?= VFfTT-/.
40. а) Проще всего воспользоваться законом сохранения
Jh
2
энергии ? =-р-х"ч-U(X), где потенциальная энергия задана
V(X) = -U0 а сохраняющаяся энергия б согласно началь-
ным условиям отрицательна -jo j . Из точкуі x(o)=(-6co/uo) частица с заданной энергией ? ^ О движется только в область
ХІ0) ОС с положительной скоростью [т (^о^ )] ^ , так как при ос <sc(o)скорость комплексна. Полученное дифференциальное уравнение
легко интегрируется, а окончательный ответ приводится к виду
ш IWW-''
а окончательный ответ п
.68 6, ^f1Zf ^1/.M-L)].
В) cos (Щ: при o*t*t„
при ^ ;
ftnfyBb при ^ ^ г>
где УЩ • а период явижения;
41. а) Поскольку обобщенная координату не входит явно в функцию Лагранжа Z — ^ ty є , уравнение Ла-
