Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
гранжа принимает вид -P1--— =Q . из котооого следует, что
cft aej, 2,
обобщенный импульс /=>- =AtJr+ уо сохраняется при дви— ' 7
жении. Его численное значение = 2 находим из начальных условий. Полученный интеграл движения ?, — ^eC^ и начальное условие у (С/¦= О дают возможность ,найти закон движения механической системы: -2 є ^
б) + в) ^--VfTp7;
г)
связи
42. а) Интегрирование уравнений Лагранжа в случае
'2I >2 7
^p- Q^ является сложной задачей. В этой
представляет интерес отыскание и ^другим путем
с использованием интегралов движения, которые легко определить по виду функции Лагранжа. Поскольку время не входит явно в L , энергия S сохраняется. Кроме
GQ того, в функцию Лагранжа не входит явно обобщенная координата ^ . Поэтому соответствующий ей обобщенньй импульс
/|.г J^- =^y также сохраняется. Численное значение указанных интегралов движения находится из начальньх условий, так что <5=/ и f> — . Таким образом, вместо уравнений Ла=» гранжа рассмотрим независимые интегралы движения
їґ її = 1' hh=i' где для упрощения выражения для энергии использовано соотношение ^7 " * Учтем далее, что из начальной точки (р^О)-= J
механическая система движется в область [-c^7 с положительной скоростью 0< tyj , а движение в области ^ ^ / невозможно, так как скорость принимает комплексные значения. После этого для определения обобщенных координат приходим к необходимости решать совместно два дифференциальных ура вне ния первого порядка .
Jt=-у=fr, Jt=*1,dh
с начальными условиями ^ fo) - / и fP(o) = 0 - Первое из них интегрируется сравнительно легко и приводит к результату
который определяет функцию fyffyfit} в неявном виде. Для отыскания другой обобщенной координаты
0,2 (t) приравняем между собой правые части указанных дифференциальных уравнений, тогда получим полезное соотношение J
da ~ 1._db - .
* г TfTVk?
Вычислим неопределенные интегралы слева и справа. Замена переменной интегрирования — сводит интеграл справа
к табличному и позволяет найти связь между обобщенными координатами в виде С к , где использовано, что при ^j(Q) = I другая переменная принимает значение Що}-0. После этого второе из написанных выше дифференциальных уравнений принимает простую форму dt-2ch ^ с решением t=^ +
+ SA c^ty2 , которое определяет искомую координату ^ = ^fJt) в неявном виде;
б) (Ii=Zit-CosUr)1 = Г+ Sint;
.70 в) (p^chtу (?2=2cLrcty th -tr-arctj ski =ZOsrctyei-If^
г) 9rTriyh"~en(7~t}i
д) (frj = VpTT 7 ^= fit Yt1Tl'f VTVT7)];
е) % =
43. Уравнение Ньютона запишем как дифференциальное уравнение первого порядка относительно скорости заряженной частицы
гп Vr- е? + ~ (ir* /TJ
и примем во внимание начальное условие V(O) = V0 . Ради удобства направим <эси Д и Z декартовой системы координат вдоль ? и п соответственно. Тогда проекции исходного
векторного дифференциального уравнения на декартовые оси после сокращения на множитель т примут вид
где OO—?— - циклотронная частота. Дифференцируя первое
уравнение и используя второе, приходим к простому дифференциальному уравнению второго порядка VJc^aj CZc=O с решением V^=OLSiti (alt+oCf . После этого из первого уравнения нетрудно найти if-ю проекцию скорости Z^'- ---?^-faCos(a)t +оС/ • Здесь
постоянные Ci и определяются из начальных условий так
a= IV-2 і-(V +-0-} J : ос= cur et а —-?--
I OJC ^ OV f-n(ju > ц ? J 2Ґ + E ^
су + jf с
Из оставшегося третьего уравнения вытекает - ^ob * т.е. движение вдоль оси J?" прямолинейное и равномерное:
Интегрируя дифференциальные уравнения
зс= a, stszf cot-t-ec)^ у - - a co$(ojt+cc)
с заданными начальными условиями jc[o) = 'jc0 и У [О )~</ определяем координаты заряженной частицы в плоскости X Y в виде
71 * ¦= if- (? )$in f-^o>
у=¦!?«*(?"><¦)*'"?--г-*+*.
В частности, при ^0-V^b= О движение происходит в поперечной плоскости по отношению к направлению магнитного поля,, а средние по времени за период проекции скорости заря-
женной частицы
^x=0I Vy = -^fC.
Таким образом, заряженная частица дрейфует поперек
скрещенным полям ? и H . Если в начальный момент времени t - О заряженная частица покоилась в начале координат F(O)=V-(O)-Q , то ее траектория представляет собой циклоиду
? (f - С05 Cut) ? у~--(cut-Serb CU>t) .
44. ^c=Jj- Slri в (7- COS cut)
45' x=7?r(4*+?)(r-coscot)}
46. jczz^ (cos Slt-7),
о - i/7*7~ ct ' _ e И
- YCO -f —— •> CO JT- --- .
' пъ т. О
.12 47- "'s^-O-CkatU
,г
тот
После перехода к пределу — координаты электрона при-
нимают следующие значения:
48. х = (cut~SLK cot) .
^ (7-cos cii^s- <****)> *=°->
rrz C
4S, Поскольку протон в начальный момент времени покоился в начале декартовой системы координат, а сила Лоренца
F - &(Е + ?-1^* H} ортогональна оси Z » движение будет происходить в плоскости XY . Уравнение Ньютона запишем ток;
rro ir = гРл /Tt
Его проекции на оси X и Y после сокращения на множитель tn. принимают вид
е Vf=-COZKc,
с? И
где введено обозначение OJ-= . От этих двух уравнений
