Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
CJNM=IdeiQjA +jd^(e2)\ , і «г* xQrfi
где J - плотность потока налетающих частиц.
По известному правилу введем понятие дифференциального сечения рассеяния тождественных частиц следующим образом:
de-fr/= -^p1 = d^ ( X) - с!ег (X).
Используя полученные ранее выражения для d(в )и при Qj= B0 - ^ , находим окончательно
d&(?) = SR2CQ5 X при О ? X^-§'- j
93 с/G (X) ^O при X ^ Л.
Полное сечение рассеяния тождественных частиц єґ= 4KR2.
, , р / -Vjrfi^el .
95. <t*F«csxsjb'7~e ПРИ
cItipattTQ при -B-< рг^Л.
96. de - ^ Л - v_i6Z т ) d&X
§ 7
97. Частица совершает малые колебания около точки JC-CC^ в которой потенциальная энергия U-U(эс) имеет минимум и
выполняются соотношения d U(X0) Q и d ^(xQjLyfl. Указанная
doc dx2
точка представляет собой положение устойчивого равновесия. Отклонение от него обозначим как <р = х~ . Разложим функцию Xf- U (&) в ряд по малому отклонению ^ и сохраним первые два слагаемых, а другие опустим как малые:
Уравнение движения, описывающее малые колебания частицы массы m вблизи положения устойчивого равновесия, имеет вид . z , .
tcV = и) -----
где Cl) - частота малых колебаний.
а) Для конкретного случая U- t определяем точ-
ку je -2са устойчивого положения равновесия из уравнения
<!Щ**1=0 при условии ^ V(XdI^q s что дает^сВы-
UJC Qzcei ° ^ JQ '
числяя далее вторую производную от заданной функции U(x-) в
точке Jc=Xn , получаем частоту малых колебаний ей - P у • ° ' m 7
г) м = г(?1Ь Єп _?_ )?
[ m <z / •
.94 98. a) oD = 2 j б) ^7 = T7 CO2=Vz]
г) ей =<$ - --1 , ^ ПРИ /г-/^,...
99. а6в) cO=?V2a<j\
100.
/— / 4M б (W7 + \7/з
101. -L-J—ZJ-) .
І ">2 '
102. Декартовую ось Л совместим с осью обеих пружин и направим параллельно силе тяжести, а начало отсчета выберем в точке, где частица покоилась в начальный момент времени t~0 . Кинетическая энергия частицы T= jZrJo2 , а ее потенциальная энергия U — UpU2 состоит из двух слагаемых. Первое представляет собой потенциальную энергию пружин
* а второе - потенциальную энергию данной ча-
стицы в поле тяжести U2-г -гтюх. Поэтому функция Лагранжа данной механической системы запишется как /,--Jr-c-tK2^sc -»•¦ ос . Отсюда получаем уравнение Лагранжа где . Его общее решение clcvs
+ • Постоянные интегрирования et к ы определяются из
начальных условий &(о) - О и Jc(o) — 0 . Окончательнс
лью колебания описываются выражением
о
(г- COS CO0^jb
ма.
103.
xsIxO- А }со5 OJj0
104. у-у cos\l Sp + JLb1 ±
7 м? Yf m с -
105, ,^ffJLji
I f
106. X=VtQ^ 2Ґъ t » где декартовая ось X
Га О f ҐП с
правлена вдоль вектора , а начало отсчета совпадает точкой равновесия.
на.
.95 xO
107. t=*e)/ff JjC
їх.
108. ^c= s^n] ^ at "Ри
а 4 2U„ у m
109. Функцию Лагранжа находим тем же способом, как в задаче J „ что дает
L
4гфг+ CL^COS Qt SiC0S <fj?
где <fJ — угол отклонения от направления силы тяжести. Вытекающее отсюда уравнение Лагранжа для малых колебаний
ф + V -= COS S?t
имеет общее решение
9 =zCf7 Sto c^t+ С, С05 cot + ^ac >
в котором оо — V& " собственная частота колебаний маят-ника, C1 и C2 - постоянные интегрирования, определяемые и: начальных условий Р (О I-iP0 и iP(O) ~ О , а %ас~ частное решение, имеющее разный вид в случаях т 0^ и 52.- ^ .
В отсутствие резонанса Q -f= CaJ частное решение ищется в виде Ф =CcosQt . Подставляя его в уравнение Лагранжа Wac г
SJ а ?г
находим постоянную С - —" заданные
начальных условий получаем
2
<Р ^ % COS CtJ t V- ^ 2j(co& Qt- СОЬ cot) .
В случае резонанса Q=CO частное решение записывает ся иначе: 5 і гг СО t ,а закон колебания с учеток начальных условий принимает вид
acut J и-со t
COS S 1/ъ outT « / *
110. &) ~ -^SZ-./j'-COS OU ? Tt ----J *
1 0 T OJnT h
O °
96 б) х,=—-/ >> (ch OO t - cos cJ0tj •
fr^i о * °° '
в) OC - --^-OiVjx
m[(a.2-f CO*- OO2J^І*// u ^ 7
0J0t)*2cLO)(e cob cot-cos a)0 t-t
(Z . + -77Г St-
Cn OJ01)]
/Tr , + ^ 2 Я
Г) X. = —-JjlL^sin ai0t при
2m. c?)0 °
2Я ,
SZ K, . , /- при--t%
SC- Ctb OtJp t r - >
д) ^ = t-scncu t) при о ^ ~ ?
О
ft / jt 3 ^ , ? * = {2Ж+sin OP0t~oJ0t) ПРИ 7
о
—-—cos co0t ПРИ
Ят ° шо
о
в) лг = -~^—(7-С<?3 oJ>0tj при O^ t T
0
х = ^ ^f5ln Oj ft- -f) ПРУ Г* t.
moo* 2 о
о
111. а) Энергию осциллятора в произвольный момент времени t представим так ;
а = ^f-Il Iе,
где комплексная переменная яЬ -f CcO0X удовлетворяет диф~ деренциальному уравнению первого порядка
1 a)„ 2 F . ' о и т, >
2
которое получается из уравнения движения осциллятора ос+оО эс-4-501 °91 — -L-p t если в его левой части прибавить и вычесть величину
3 «I
с СО X и положить COtfX=-CvjOiti^occI • Здесь ось выбрана вдоль вектора ^ . Общее решение ? = указанного
дифференциального уравнения первого порядка включает два слагаемых. Первое 2c^ exp(ooJ0 ?) является общим ре-
шением соответствующего однородного уравнения % -l<jJ0%- О a BTopoe^4rr- частным решением исходного неоднородного
