Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
" Л 2ma 77 2
ва заменим переменную интегрирования по закону /- ~ ,а
В результате получим
ш 2 2 та
2 &
Ґ Zcl
I/ * -o—і M2
Ua2 2тех
где использовано, что в экстремальной точке траектории вы« полняется равенство гг—- ( --_ I V3 . He-
сложные преобразования приводят к следующему закону дбижє» ния частицы
54. a) T-TcYffУ б> Г-rrfVjfar.
55. Чтобы радиальное движение было периодичным , координата Г должна изменяться в ограниченной области
где и г^ - две точки остановки, в которых радиальная скорость Zi обращается в нуль. Согласно закону сохранения энергии эти точки остановки'определяются из уравнения
2
6 = v° exP ^vA
Найдем условия, при которых имеются два корня этого уравнения ,т.е. две точки остановки. Для &тоі о эффективная потенциальная энергия U і H-—Pirftf-ае Г2) должна
эф 2ґґ) )-*1 о - г { /
иметь минимум при конечных значениях Г , а ее значение в TorIKe MHHHNjyMa должно быть меньше S .. Введем удобное
обозначение ^c.= (де Ґ и U--M . , тогда U =Q--Ue*.
/ 2f*7 5>Ф X О
Видно, что при DC —9- О зеличина V3^ стремится к положительной бесконечности, а при .х—о» обращается в нуль. Значит в точке минимума величина Ії^ф отрицательна. Кроме Tofo, в
г/ Cf
точке MHHHNyMa выполняются два соотношения . ~ q и
/ ^tт t^ _
%Ф >0 • Первое приводит к уравнению JC2- т-относительно переменной JC . Корень Jco этого уравнения дол-ТВ жен лежать в области О < JC0 ^ 1 , чтобы при JC. - JC0 одно—
J2U
временно выполнялись неравенства UО и —.—> О . По-
/_ г 'X «ос,*
скольку функция Z(ос) — ^ G MOHOi онно возрастает в области O^ эс ^ 2 , указанный корень ^c0 сушествует, если
-JV-1 J , где ?> - основание натурального логарифма. Та— ио
ким образом, радиальное движение периодично, если модуль момента M удовлетворяет условию
м<\ ^rst
ZmU0 I %
эг* е
56
. а) V2т ее ' • б) M^R V2т Uq .
57. Vr= М кГ§- • т. г
о
59. а) Траектория частицы в потенциальном поле U- Br2 расположена в плоскости, проходящей через его центр, и имеет экстремальные точки, в которых радиальная скорость обращается в нуль. Они определяются как корни алгебраического уравнения 2т &i"S-2m -Ma-O , где S- энергия, a M -абсолютная величина момента /V . Последние сохраняются при движении частицы в заданном центральном поле. Полярную ось в плоскости движения частицы выберем так, чтобы она проходила через одну из экстремальных точек траектории с радиальной координатой Ґ- Г0 . Воспользуемся обшей формулой для траектории частицы в центральном поле и запишем ответ в интегральной форме
f_Mdr_
где Ґ и Iff - полярные координаты частицы.
Интеграл легко можно преобразовать к табличному, если вынести множитель Ґ 2J из-под ксрня, а подкоренное выражение представить как ~ 2т (2И- —21І )2. Замена пе-
П \ Га М)
ременной интегрирования U---fZ с V4 6TOM особенности
Г M с
экстремальной точки JL-тЛ- --pf„g j^приводит к сле-
Af M I Mcl /
.79 дуюшему результату: Ггь S
у ^ ± -L- си~с со 5
г2 M
Wz^f2'
Окончательно траектория частицы принимает вид
Когда угловая координата </j изменяется от V до Ут частица возвращается в исходную точку траектории с координа- 5 тами и , т.е. траектория представляет собой замкнутую кривую;
2
M -t2ma і rrii ґ
60.
.2 І/2лг)а 0 ,
h = -M-cos2V-
61. fr-ь^ск IyflrV)
Ycl 6 '
62. П - _ Ж в
^0 -і/ M2 ^a 1 ( , п ]/ ZmcLSin2Qr , \ 63- V^Ssin2Q0-iT
64. Траектория частицы в потенциальном поле притяжения U= Ґ представляет собой замкнутую кривую, которая в полярных координатах ґ и ^ описывается формулой SO где начало координат выбрано в центре поля, а полярная ось Проходит через экстремальную точку траектории (см. задачу 59 а). Воспользуемся тождеством соз 2Ф = и
перепишем приведенную формулу иначе.'
1 т 6^ V /Vz (5
Видно, что данная замкнутая кривая представляет собой эллипс, малая полуось которого совпадает с полярной осью (осью X )і а фокусы лежат на ортогональной оси Y • Действительно, положим X - Г COS р к t/s г Sin и воспользуемся известными формулами а?-/?2=: ? 2 <х2 и В s= CL2(1 - ? 2) ,которые связывают между собой эксцентриситет ? , а также большую Ci и малую g полуоси эллипса, тогда каноническое уравнение эллипса
Tr As 7
в полярных координатах запишется следующим образом: / +
г* 7 - с ^r
Из сравнения находим
ы.
(»tfW), 'Ч ('-VtWI1
8 =
ГГ?
б2
ОІМ
2
т
65. а) Подставим потенциальную энергию tf(h)- - ~ -f -=^j
в общую формулу для траектории частицы в центральном поле,
выраженную в полярных координатах F и у с полярной осью,
,проходящей через экстремальную точку. Тогда получим $01 "1 *т±І
Mdp
P 2(2т6- 2^P +&*+ ^гЖГЖ
Ґо к rs r- /
где р — расстояние от центра поля до экстремальной точки траектории. Подкоренное выражение запишем как
2 пъ2о6г _ (Ум+2тр ггьы- ) %
Mp+2rTijB 1 г
Vm2+ 2m?>
Замена переменной интегрирования 2 mfi - f^ позволяет
вь.числить интеграл, так что окончательно находим
р
За период радиальных колебаний координата р частицы меняется от значения = ^rnln до А* - fv^cuct а затек, возвращается к исходному значению/- - За это же время угловая координата <f/ частицы получит приращение А У. Чтобы радиальная координата р по истечении периода движения приняла исходное значение Р-ґу^; » , аргумент у косинуса должен измениться от нуля до ?2Я' Следовательно, угловая координата луча, идущего в соседнюю экстремальную точку траектории с координатой P- ^rn^n > определяется из соотношения
