Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
^7 =Clf COS (cu?i+<Pr} +CL2 COS (cu2++ <f2 ) ?
121. CCf =+COS (Voccj + (cOor.+% ),
CO0 ' I
-CL1CffA (T/5 <o0t* Yr)+bzCO5(c*>0t + Y2Л
где CO*=к//79 , a JCj и ^2- смещения верхней и нижней материальных точек относительно тех положений, которые они занимают, когда пружина не натянута. Величины Ctj % Ou2 , Yj и Y2 являются произвольными постоянными.
122. Задачу будем решать в системо координат центра инерции (ц-системе), чтобы исключить прямолинейное и равномерное движение последнего. В и-системе координаты JCj , Jc2 и ^c3 материальных точек с массами /т* , mg и гг?3 связаны между собой соотношением т ГС tгтг X І-/Пях -C . Следова-
7 7 2 г д д і Q 5 тельно8 данная механическая система имеет две степени свободы. В качестве независимых обобщенных координат выберет величины JC1 ~ е и JC2-JC2-в , которые пред.
ставляют собой растяжение первой и второй пружин . Тогд функция Лагранжа L , равная разности кинетической T- -^(т^2
+т^ X2 + rnZ ^з / и потенциальной JJ - -~L (x?- Xj -е) 2-t ^jc3--JC2- ? J^ энергий, в новых переменных с учетом cootko-
шений ггъ^ггг^ -tn f гтг^ = 2 г*г и kz - Zk7 ~2гъ сОа примет вид ~ Z
1 H h* Hf- ^fr 03O <? )¦
Как обычно, решение уравнений Лагранжа
ищем в комплексной форме Clcxi ~ Coc <?г 1, 2). Для оп-
ределения комплексньх постоянных C1 И C2 получаем систему однородных алгебраических уравнений
fa>*)cri«>*(fg=o, і^с^-г^і) сг.0}
из которой вытекает характеристическое уравнение СО-ScO0O) + +уCO^=O для собственных частот OO^ =2CO0 и CO^ - CO0 . Подставляя первую из них в алгебраические уравнения, находим связь Cf1^L-Cg^ между комплексными коэффициентами, отвечающими этой частоте COj . Аналогично получаем С^2*— 2
(1) L tP ? < '
для второй частоты оЛ, . Вводя обозначения1 и (fty-Q^e можно написать общее решение уравнений Лагранжа в комплексной форме: ./„ , . „ ,
Hi,-а," Щ а, е'Ч
которая удобна для последующих вычислений. При помоши соотношений /?Є dj и определяем и ^ , что дает возможность представить координаты Xj , jc2 и X5 в виде суперпозиции нормальных колебаний
ХГ~ "Tltz/ <-оь(2ой0і+%) + Ia2 соз (oj0 ?+<fz) ?
xZ=-^- соь (2 coj + ч>7 J-{] ,
106 Jc3 - -{r [o P- CLj cos(2ojc t Y7 jf2 CL2 cos (tuv?+ Y2J j t
123" ^in u^ott Vf 3i^ v^ coOt^
h ib0 (3in Yfsin v^ c0O tj,
Z
где jm ,a и fj ^ - смещения материальных тенек отно-
сительно положения равновесия.
124. Jrf = J^ [г^ (?=-1 )сов ^ t-(fo + t)ca» Ці],
* J±V5 _к_ _ 3 ~ Ve _к_ 0^i г гп у г г т
Величины ^ и JG^ представляют собой смещения материельньл точек относительно тех положений, которые они занимали в начальный MONfeHT времени.
^ [( W " а?3 ^ 1' (lk * 2-} С05 Ч iJl
ф
<> ,2
<*>г = (3 t Vej /?? Ol0 J і J- \/Z) COq .
Ь- J^Jf-^^y с(?3
u _ (o со;-UJz)^0 , .
Ь ' -O^-J ^r >
^-JtLrtcoZ ^ J^yj г ,у ,
/ 2 о? 2 р о f с т
Здесь и ^7 ~ смещения материальных точек относительно положения равновесия.
F0 0ОІ cos cot
OOz0 го(с*г- cof )(со2- ой*)
Г = 4S- , !=O (2^o-Mz) COS cot .
P ^ / ^ 2 \ і 2 2 І 7
^ т (,О-со, }[сО -сОг) 107 2 3+Vs ,.2 3-I/5 2 2 k
Здесь и смещения материальных точек относительно
тех положений, которые они занимали, когда пружины были не натянуты.
coO (2^p-& *}a>sj&i t ^co* cos Q2 j
128. (я*-а>ІП&,-Зс4) (e*-*il(*Z-3ag) >
^co^cos^t Ci2CQg (2COSSZ2 j г
*~(?>f-cof)(szf-3coZ) (<2*-сО*)(я*-Зс002) ^о- гп-
129. , _ ^ог^Ы^г) Xf sifof-afrcuZI ^
=Iat ^2coSfert+Pt) t , fo? C*>*o,S*l)cos - -/ ^?? CO^j - <o,*2 ) '
%J = У c0O2 = •
130. _ aouo[[co?-co2)coscoUr<osin.<A)t] Zk
Vt V2 , z 2 12 2 z і о ґп '
' * {C0-<X>ol+f?cO
m
§ 9
131. Из двух координат X и у частицы, движущейся в плоскости XY по кривой У =у (х) , только одна является независимой. В качестве последней выберем JC . Функции) Лагранжа напишем как разность кинетической T- 2-t у *) к
потенциальной U=Cngy (х) энергии, приняв во внимание уравнение связи у~е/(эс) :
Разложим эту функцию Лагранжа в ряд по малому откло«> нению Qf-DC-OC0 от точки JC=X0 устойчивого положения равновесия, где потенциальная энергия имеет минимум и выполняются соотношения JX0^-= О и --2^f ^0^ ?>0.В этом разле-
Cfx oLx.
жении сохраним слагаемые не выше трети его порядка малости относительно О , тогда получим 108 -/-J^rj-V * -Tr-J^- f *rrlZУ(хо)>
После этого имеется возможность написать уравнение движения с учетом нелинейного слагаемого, являющегося малым возмущением:
CO0 f = ,
где обозначено СО2- Q c^ ^fx^l и оС=- M1 ^ l^i3cQL, Начальные
° / б/JJ2 3 ^ JC3
условия Cfs(O) = O и f(O)-V.
Если пренебречь малым возмущением cCc^f , то решение, удовлетворяющее начальным условиям, представляет собой гармоническое колебание i>iti oJnt
J CO0 о
2
При наличии в уравнении движения нелинейного члена оС fy будем искать решение ъ виде ^ = ^ lf^ у- ^ , где основ-
ное слагаемое, а первая поправка, обусловленная указан-
ной нелинейностью. Подставляя искомое решение в уравнение и начальные условия и приравнивая члень одного порядка малости слева и справа равенства, iln-єєм
