Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
'<}f1}+^20 f(/J=oy f>(oh O7 f UJ (о} - V)
= f<2)(0) = o, ?'"(0)--0.
Из первого уравнения и начальных условий получаем = - - 51/г ou0~t і а второе уравнение запишем в удобном виде
t ч-»: с, г«,.*;.
Его решение ?^4?^/?^ содержит два слагаемых, из которых Cj Sbtb <M>0t -t C2CPS c^0і ~ общее решение соответствующего однородного уравнения, а с^2* - частное решение, имеющее вид:
JZ) Otir2 OCW2 „ ,
г V cLc, 2 со 7 6 со У °
о о
Произвольные постоянные Cj и C2 определяются из на— г
чальных условий и имеют следующие значения: C-O и D 7 -4 J СО Y
D итоге О
г
f=S~0 slnc^Oi + f^is-lcos co0ttcos2oj0tj.
.109 а) Для конкретного случая у Cjc)- Sx определяем точку X = X0 устойчивого положения равновесия из уравнения c^Cjc-0K q
JLI 1 ..,,- 6L>X
или S- -~т=0 при Ф У}Х°1 >0,что яает После этого находим
X0 ct-X J о с Jf/
со и Ы- при помощи найденных выше формул: COq= Y^) » . Окончательно
б)
в
OJ0^cn ^it(3 г ojOi )?
2 2 X= cojf ф (3-ї cos co0t* соэгсоД Jo^ •
) ^ Cuj + 4COS Ч ttcos2c001)7Od20= Jf.
о
132. Напишем уравнение движения X+ CD0 ос=оСх> +J^X. и начальные условия х(0)- Cc и X(O)-Q , Поскольку нелинейные члены малы, будем искать решение уравнения методом послед о— вательных приближений, который состоит в том, что координата сс и частота со колебаний ищутся в виде рядов:
ой-CU + GOin+COi2}+ . . . , . ' О
Здесь сс - слагаемое, пропорциональное ^ (/г = 1, 2, а
Со"1?- поправка гъ -го порядка к собственной частоте сOq , пропорциональная ai^ (п = 1, 2,
Чтобы применить метод последовательньX приближений, перепишем исходное уравнение движения в другом виде
X +COzX =o6JCZ+?XS + ((O2--COo)X.
Левая часть этого уравнения содержит искомую частоту колебаний LO , а правая является величиной более высокого порядка малости по сравнению с X и служит определенным возмущением.
Решение уравнения движения в первом приближении X-X получим, если пренебрежем нелинейными членами и положим CO-
- CO0 . В результате пргходим к гармоническому колебанию X^
- a cozco0t с частотой со = со0 .
Решение уравнения движения во втором приближении запишем как X -OC(f)+ ZC^2Jи СО - OJ0 /• COfrJ. Подставим искомое решение в уравнение движения и начальные условия и приравняем 110 между собой члены одного порядка малости: х11>+оогас1г^оу Ocfv(O) ~о-}
г CO0OOifWo1 Jctv(O) =-jc(2)(0)-Q.
Левая часть уравнений для jo (Tjи jc^ содержит искомую частоту СО -COp •/• CO^r) с учетом малой поправки, чтобы избежать нежелательного разложения в ряд гармонических функций вида
со5 cot- ooS> CO0 t- со COS CO0 t V- ....
Все слагаемые этого ряда, кроме первого, растут со временем и поэтому теряют физический смысл в области оО 7 • Такое разложение в ряд не возникает, если в левой части указанных уравнений стоит частота сО , включаюшая соответствующую поправку.
Из первого уравнения с учетом начальных условий находим je CC СО5 co t , TJX^ сО - COc COltJ, Поправка со частоте сО0 определяется вместе с поправкой при помоши второго уравнения. Для этого выпишем в явном виде правую часть указанного уравнения:
? со 2сс (г- ос. af COS2OO t 2 oJ0 со (rJa со5 ей t.
Преобразуем правую часть так, чтобы она содержала гармонические функции в первой степени:
г (2) оса2 оС af Jt0 (f) J
JC +со SC1 7- <-~2—cos2cot+2coooo cosoot.
Резонансное слагаемое 2aJ0oo^Jct COS cot в правой части уравнения должно отсутствовать, так как оно привносит в общее решение такие слагаемые, которые растут линейно со временем. Эти слагаемые с некоторого момента времени перестают быть малыми. Между тем поправка JC по определению должна быть малой (пропорциональной Cc2 ). Заметим также, что в замкнутой механической системе из-за отсутствия внешнего источника энергии амплитуда колебаний не может возрастать неограниченно. Отсюда следует Coi7j-O и Cl?-CkJ0 , так что последнее уравнение упрощается:
оса2 ocaf 0 ,
JC +CiO0 ZC --J- + --р- COS 2 CO0 t.
.Ill <г
--- (з-2cos coG і -cos2CO0і
Решение этого уравнения находим по общему правилу
JaL^(4}ac , ^oJn = соз ^ <ЧЛ
(г) л
где JO 'и - обшее решение соответствующего однородного урав~ (г)
нения, a Odyac - частное решение, которое ишем в виде
joiVac^ C7 + C2 СО а 2 CO0 гf.
Здесь A2 и &2 — произвольные постоянные, а коэффициенты Cf и Cf2 подлежат определению. После подстановки зс^^ в исходное уравнение и приравнивания между собой однотипных слагаемых слева и справа равенства получим C = a^2- и С — -оС cc^-
' ^ c0O «? 6 CjO3 и о
Таким образом, поправка второго порядка принимает вид
г 2
cos сО„ t -t-?-Stn, coj-h -?- ———з- cos 2сО t ,
2uuo 6соо oca.2 Из начальных условий находим/} - — —и Д,"^ • В ито-
-7 2 3 COg -2
ге получаем следующую поправку к первому приближению:
(2) C-=C Cb
JC —---
у
Характерно, что поправка второго порядка содержит постоянное слагаемое, а также колебания с одинарной и удвоенной частотой. Окончательно решение уравнения движения во втором приближении запишется как
^яaO~ J^p-)005 ^oit TE^t3"0052ajO
