Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения. Последнее находится методом вариации постоянных, согласно которому величина ищется в виде 1Zvq^С(іJexp(Со
где функция C(t) подлежит определению. Подставляя fI4ac в неоднородное уравнение, получаем
Jjm-=JL? ехр(-шоі).
Проинтегрируем обе части этого соотношения по времени от t0 до t , где tQ — начальный момент времени. E результате имеем t
??а<г C(t„ I eap(lo), 11* F(t ')exp{w0 (t-t'U dt;
где F = F (t'J - заданная внешняя сила. В полученной сумме
?- ?i/ar постоянную С(t0 / объединим с произвольной
постоянной А , написав А + С?(t0}~ & gjcP (і<&) , ГД© CL и оС -
новые вещественные постоянные, определяемые из начальны?,
условий. После этого общее решение запишется так ;
f
cu0t+oC)+ jPfi f F(t')exp [г aJ0 (t-t')] dt'. І
Согласно условию задачи до начального момента времени осциллятор покоился в равновесном состоянии, так что при t ^t0 • Откуда OL = O ,а полученная функция ? ^ % {і} описывает вынужденные колебания осциллятора под дейст^иек силы F- F(t} . Если последняя имела вид F~ Fo еxf> —^ J у.
действовала в промежутке времени - «о ^ Zl то, полагав
? и /=<=¦=> в выражении для / ? / 2 , получаем
В показателе экспоненты положим
г 2
.98 > Сі) *7~
и проведем замену переменной интегрирования g = ~tr +і —f
2
тогда придем к известному интегралу Пуассона, а искомая
энергия осциллятора примет вид
б) S - чг),
112. Изменение длины пружины в произвольный момент времени t равно ос-ас ^t0 ^v де функция Jc0= ее cosfat -t-ot) задана. По закону Гука сила, приложенная к материальной точке со стороны пружины, имеет вид: F^np= — к (сс-определения закона движения материальной точки массы т, воспользуемся уравнением Ньютона гггос (x-~<Xq-?q)"m^t^ci которое после замены X-X0-^0 = /7 принимает вид:
? tJttI 'c0OrI = Tk '
Установившиеся колебания материальной точки описываются частным решением последнего уравнения. Ради удобства сначала найдем частное решение более простого вспомогательного уравнения
X + f X + CO0X = CC cofejcdi(cot+ Otj ],
тогда Ij = Re X . Решение вспомогательного уравнения иа.ем в виде X = СeocjJfaot + , так как при подстановке этой функции в данное уравнение экспонента после дифференцирования сокращается в обеих частях равенства, а для коэффициента С получаем
Ґ -.о-д/ cvO-
Вычисг. ^ние реальной части от X с учетом соотношения X -to +1 +X0 приводит к следующему результату:
(сор-СО2)cos (cot + CJLjteoy sin (cot -t oC) p ^
* * (a>;-a>*)*+Cu*r*---
113. Г,- Ъ2 _
114' a: = 7rQGqt (о-2* oJo~ co^a-Z1) Siro eot + cc(aa-r)co$uJt ,гг і off со*- OJ2-CLfftcJ{2а-F)2
.100 § 8
115. а) Функция Лагранжа описывается выражение?..
L= (oc2+ у?+ ~ rn-^Z ? где координаты X , у и з частицы удовлетворяют уравнению связи z~ Z(^cy у) с заданно функцией - (Xch6-X скёу. В качестве независимых коорд^
нат выберем х и у . Найдем точку устойчивого положени равновесия с координатами зс0 и yQ , около которой частиц, совершает малые колебания. Поскольку в этой точке потенци-альная энергия JJ = т^ z (jc, у) имеет минимум, для опре де. ления кооринат X0 и у0 служат уравнения ^^ ~ О 1
дZ_0 или $JC0=О и ShSy0-O с решением X0 = У0- О . Разложим функцию Лагранжа в ряд по малым отклонениям эс. и у от положения равновесия и сохраним слагаемые не выше второго порядка малости по отношению к а и у . В результате получим
^ = # [* 2+У - 'у 2)]- rrl^a •
Вытекающие отсюда уравнения Лагранжа
?+(JaS2X =O1 у+- - о представляют собой независимые уравнения движения дву*.
одномерных осцилляторов с одинаковыми частотами 6Yo 7
У
ь) OJ =[^ Z0 (а+с + VO^KF)] г,
c0B=IjMa^c-V(CL-C)2+ 62')}Г/г.
116. а) Заданная функция Лагранжа
L=HiH i<fr%%+fr%%+%)
является квадратичной функцией обобщенных координат, что ха--рактерно для механических систем, совершающих малые колеба ¦ ния. Чтобы исследовать особенности движения, воспользуемся уравнениями Лагранжа:
100 % + = г-*,*9г*ІЬ+Ь>+г%=0>
Для определения частот малых колебаний будем искать решение этих уравнений в комплексной форме Qvc = C^e tai^ ,
где величины при оС = 1, 2, 3 связаны с обобщенными ко-
ординатами так'.(^=ReQoc . После подстановки величин Q^C^?03^
с oisIl 2, 3 в исходные уравнения и сокращения на множитель е*«^ получаем алгебраическую систему однородных уравнения относительно Cf , Cg и C^ . Сна имеет нетривиальное решение только в том случае, если определитель
со'
Hr-cS)
і ('-«>>>
I-COt
JL 2
/-со
этой системы равен нулю. Приравнивая его нулю, приходим к характеристическому уравнению (7-0^)(300^60^+2)- О і корни которого uO?=:J , сО^=/+ и ей/ определяют частоты
OO1 = I , CO2-(f+ ^ и CO3,-і 1--малых колебаний механической системы; * Vr^ '
б) ар/, J в) ^^oJ5=Ve J
117. a) Ha основе функции Лагранжа
составляем уравнения движения, описывающие малые колебания механической системы:
гЇГ%+3Ь~3hs0> %~sh*3b~9%
.101 В силу линейности полученной системы дифференциальных уравнений будем искать ее общее решение в комплексной форме
