Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, изменение плотности газа необходимо учитывать только при скоростях течения, сопоставимых по порядку величины со скоростью звука, определяемой, как следует из (3.45), давлением и плотностью в этом потоке. Если же скорость течения V << с, то сжимаемостью газа можно пренебречь.
Распространение возмущений давления и плотности.
Если в неподвижной жидкости или газе быстро создать в небольшой области избыточное давление Ap , а значит и избыточную плотность Ap, то эти возмущения будут распространяться с некоторой скоростью, последовательно приводя в движение частицы среды, расположенные на пути распространения. Скорость распространения, как показывает опыт, не зависит от конкретного вида возмущения, если только относительные изменения
^ySp « 1 и р «1 (р и р — равновесные значения давления и плотности
среды). Важно отметить, что и форма таких малых возмущений в процессе их распространения не меняется.
Рассчитаем скорость распространения возмущений, используя самую простую физическую ситуацию. Пусть труба с площадью поперечного сечения S заполнена жидкостью или газом с плотностью р, находящимися под давлением р. Предположим, что в момент времени t = О поршень, закрывающий трубу с одного конца, начинает двигаться с постоянной скоростью V << с. Перед поршнем образуется область повышенного давления (рис. 3.13), граница которой будет двигаться со скоростью с. Импульс силы F, действующей в течение времени At, передается частицам среды в объеме с повышенной плотностью р + Ap , которые начинают двигаться со скоростью v. Поэтому можем записать равенство:
(3.47)
(3.48)
FAt = ApSAt = (р + Др)(с - v)At S v
(3.49)
или Лекция 1
59
ш
P+Ap P
О vAt
CAt
Рис. 3.13
X
Ap = (р + Др)(с - v) • V. (3.50)
Из условия постоянства (до и после сжатия) массы воздуха следует, что
pScAt = (р + Др)(с - v)SAt, (3.51)
или
pc = (p + Ap)(c-v). (3.52)
Из уравнений (3.50) и (3.52) находим скорость движения частиц как функцию избыточного давления:
Ap
v =
рс
(3.53)
В акустике последнее равенство выражает акустический закон Ома. Если проводить аналогию с законом Ома для участка цепи постоянного тока, то V является аналогом силы тока, Ap — разности потенциалов, а рс так и называется — акустическое сопротивление среды. Равенство (3.52) после раскрытия скобок будет иметь вид:
0 = Ap • с - р • V - vAp. (3.54)
Последний член в правой части (3.54) пренебрежимо мал. Подстановка (3.53) в (3.54) приводит к искомому выражению для скорости:
с =
(3.55)
Формула (3.55) позволяет рассчитать скорость звука в различных жидкостях и газах, если известна связь между давлением и плотностью. Для воздуха эта связь дается уравнением адиабаты (3.42):
р = const • рт. (3.56)
Поскольку Ap = const • у • рї_1 Ap, то
с = ^ const • у • р1 1 = Jy-
(3.57) 60
Механика сплошных сред
При нормальных условиях р = IO5 Па, р ~ 1,3 кг/м3 и с ~ 330 м/с.
Для воды, сжимаемость которой значительно меньше, скорость звука с = 1200 м/с. Отметим, что скорость звука в воздухе возрастает с увеличением его равновесной плотности р (3.57). Этот факт будет использован далее, когда будет рассматриваться распространение акустических волн большой амплитуды.
Истечение сжатого газа через сопло.
Рассмотрим одну из важнейших задач газодинамики — истечение газа, сжатого в сосуде до давления P1 и плотности P1, через выходную трубку — сопло (рис. 3.14). Скорость истечения V, согласно равенству (3.43), получается равной
V =
- Y-Il
2 , 2Y Pl 1- [Р ' Y
vI+ 1 Y-I Pi
Ui J
(3.58)
Здесь учтено, что h ~ Ii1.
При малом сечении сопла скоростью V1 движения газа внутри сосуда можно пренебречь. Наконец, будем считать, что давление снаружи р<<рг Тогда
V =
2у Pi
IY-I Р,- (159>
Оценка, проведенная по этой формуле, для случая, когда воздух при нормальных условиях вытекает в вакуум, дает величину скорости v = 750 м/с. Эта скорость более чем вдвое превышает скорость звука и, как показывает
опыт, при использовании сопла постоянного сечения не достигается. Реально скорость газа не превышает скорости звука, поскольку газ, находящийся в сопле под заметным давлением, является своеобразной «аэродинамической пробкой» для газа внутри сосуда — поток как бы запирает Рис. 3.14 сопло. Этот вывод подтверждается и про-
стейшими расчетами. Пусть і — координата, направленная вдоль оси сопла с переменным сечением S = S(?). Для стационарного течения уравнения Эйлера (3.35) или уравнение Бернулли (3.40) связывают приращения скорости и давления:
vdv = -dp/p . (3.60)
Из условия постоянства массы (3.1) следует, что в любом сечении сопла pvS = const, или
dp dv dS л
— н--н--= 0
р V S
(3.61)
Наконец, согласно (3.55), можем записать Лекция 1
61
dp = c2dp , (3.62)
где с — скорость звука в сечении S, меняющаяся вдоль сопла. Из (3.60) и (3.62) имеем
vdv = -с2 — P '
Подставив (3.63) в (3.61), находим
dS = dv S"v
( 2 Л
Vi
с
V У
Таким образом, при дозвуковых скоростях
