Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
« 1
(3.63)
(3.64)
в сужающемся сопле
(dS < 0) скорость возрастает (dv > 0), а давление (согласно 3.63) — убывает. Однако, по мере приближения к скорости звука приращение скорости dv стремится к нулю, а сама скорость достигает некоторого максимального значения, близкого к с. В расширяющемся сопле (dS > 0) при начальной скорости V << с также будет иметь место уменьшение скорости потока с одновременным увеличением давления и плотности.
Получить сверхзвуковые скорости можно лишь при использовании сопла, форма которого показана на рис. 3.15. В сужающейся части сопла поток ускоряется. Когда его скорость в самом узком сечении незначительно превысит скорость звука (v > с), то, согласно (3.64), последующее увеличение сечения (dS > 0) будет приводить к дальнейшему ускорению потока при одновременном падении давления и плотности. Такое сопло, получившее
У>С
Рис. 3.15
название сопла Лаваля, позволяет получить сверхзвуковые скорости потоков. Эта плодотворная идея используется при конструировании ракетных двигателей. Этот же принцип лежит в основе конструкции аэродинамических труб, используемых для испытания сверхзвуковых летательных аппаратов. 62 Механика сплошных сред Лекция 4
63
ЛЕКЦИЯ 4
Движение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Число Рейнольд-са. Формула Пуазейля. Ламинарное и турбулентное течение. Турбулентность атмосферы. Обтекание тел потоком жидкости. Формула Жуковского. Гидродинамическое подобие. Движение тела со сверхзвуковой скоростью.
Силы вязкого трения.
В предыдущих лекциях мы рассматривали движение жидкостей и газов в пренебрежении силами вязкого трения. Между тем эти силы, действующие между частицами движущейся жидкости, могут кардинальным образом повлиять как на распределение скоростей в потоке жидкости, так и на обтекание жидкостью тел, помещенных в движущийся поток.
Еще Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого трения препятствуют этому скольжению (рис. 4.1). Так, при движении со скоростью V верхней плоскости относительно нижней возникает сила вязкого трения, направленная против движения и равная
t \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Рис. 4.1
Ft=^S-
(4.1)
Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу
длины в поперечном направлении — ( градиенту скорости в направлении,
перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости ЖИДКОСТИ (А.
Формула (4.1) справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их линейных размеров (h « Vs). Важ- У
но отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью V (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине). Представим, что жидкость между пластинами состоит из
-E
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
-Ц?
X —>
Рис. 4.34 64
Механика сплошных сред
плоских параллельных слоев, движущихся равномерно (рис. 4.2). Нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний
слой с силой Ft . В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с той же силой Ft . На каждый слой действуют сверху и снизу две
равные, но противоположно направленные силы. Скорость слоев возрастает от нижнего слоя к верхнему линейно (рис. 4.2), а силы трения, действующие
на каждый из слоев, одинаковы. Как результат, усилие F = Ft , приложенное к верхней пластине, передается на нижнюю пластину. Коэффициент вязкости жидкости (А можно определить экспериментально, например, по скорости ее истечения через трубку известных размеров (см. ниже). Как показывает опыт, при нагревании вязкость жидкостей уменьшается, а газов — увеличивается. Объяснение такого разного поведения коэффициентов вязкости жидкостей и газов будет дано в курсе «Молекулярная физика».
Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.
Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (3.28) необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к еди-Y нице объема жидкости. Для про-
стоты ограничимся рассмотрением течения жидкости в направлении оси X, при этом I >/ единственная компонента ско-
I */ рости vx будет зависеть от попе-
I речной координаты у (рис. 4.3).
Hfc'' X JJa верхнюю грань dxdz кубика
dxdydz (ось Z перпендикулярна (Jx плоскости чертежа) в соответ-
ствии с (4.1) в направлении оси X действует увлекающая сила
dy
Vx (У)
Ft = (Adxdz
Рис. 4.3
dv
dy
, а на нижнюю грань — тормозящая сила Ft = -Jidxdz-^v v
y+dy х dy у
Равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна
= F; + fZ , (4.2)
а сила, приложенная к единичному объему, составит
. Ft d2vx
При линейном изменении скорости от слоя к слою, как на рис. 4.2, fT = 0.
Если скорость изменяется нелинейно, как на рис. 4.3, то fT Ф 0. В общем случае сила вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты
