Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.10
rekp -
^pvR ^ V-
(4.19)
' кр
Значение этого критического числа сильно зависит от формы входной части трубы. В случае закругленного конца, как показано на рис. 4.10, течение остается ламинарным вплоть до больших чисел Рейнольдса. Область критических чисел Reicp лежит между значениями 1200 (незакругленный вход) и 20000 (закругленный вход). Поэтому в литературе приводятся весьма различные значения Reicp.
При установившемся турбулентном течении скорость в данной точке случайным образом меняется со временем, однако сред-
няя скорость
на-
Рис. 4.11
правлена вдоль оси трубы. Она остается постоянной по сечению трубы, и только в очень тонком пограничном слое спадает до нуля у ее стенок. На практике для расчета турбулентного течения жидкости по трубе используется формула
P1 - P2 = kp(v)
1L
R
(4.20)
в которой к — безразмерный гидравлический коэффициент.
Средняя же по сечению скорость ламинарного течения из формулы Пуазейля (4.18) получается равной
,2
(V) =
Nv
JtR2
R Pi -P2
8ц t
(4.21) Лекция 1
71
Разность давлений как функция скорости определяется формулой
P."P2=|(v)f (4.22)
Если сравнить перепады давлений для турбулентного (4.20) и ламинарного (4.22) течений, то легко видеть, что повышение скорости прокачки жидкости по трубам при турбулентном течении потребует значительно большего увеличения перепада давлений, чем при ламинарном. Известен исторический факт прокладки нефтепро- n _п
вода в России, спроектированного т на основе формулы (4.20). Однако при приложенной разности давлений пропускная способность нефтепровода оказалась выше расчетной. Ошибка проекта (к счастью, удачная) состояла в том, что, несмотря на большой диаметр труб, течение вязкой нефти по ним было ламинарным, и пропускная способность нефтепровода должна была бы рассчитываться по формуле (4.22). Формулы (4.20) и (4.22) можно объединить в одну, если принять, что безразмерный гидравлический коэффициент в (4.20) зависит от числа Рейнольдса:
Рис. 4.12
<У>
k = кп н--.
0 Re
Тогда при Re > Reicp коэффициент ksk0, и течение турбулентное. Напротив, при Re < 1 k S ^e, и формула (4.20) переходит в (4.22). На рис. (4.12) изображен график зависимости перепада давления в трубах от скорости течения. Однако, если двигать трубу относительно неподвижной жидкости, то кривую на рис. 4.12 с известной натяжкой можно интерпретировать как зависимость силы сопротивления, приходящейся на единицу площади боковой поверхности трубы, от скорости ее движения в жидкости. При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости, а при больших — квадрату скорости.
При свободном ламинарном течении жидкости (в отсутствие направляющих поверхностей) развиваются неустойчивости, и ламинарное течение переходит в турбулентное. На рис. 4.13. представлено изображение струи жидкости (число Рейнольдса Re Хорошо V ( видно, что течение от ламинарного режима через переходный трансформируется в турбулентный. До настоящего времени нет Рис. 4.13 72
Механика сплошных сред
ясного понимания всех стадий развития турбулентности. Классическая линейная теория устойчивости дает качественно верное описание начальной стадии разрушения ламинарности. Ясно, что переход к турбулентному течению является существенно нелинейным процессом, и теория устойчивости должна базироваться на анализе нелинейных уравнений гидродинамики.
Отметим, что в области ламинарного течения линии тока практически параллельны. Поле скоростей является потенциальным (по аналогии с однородным полем силы тяжести). Описание течения может быть значительно проще, если использовать потенциал скоростей
Ф(г) = Jv(r)dr.
(4.23)
В ряде задач проще рассчитать сначала потенциал скоростей, а затем и скорость:
V = -grad Ф . В области турбулентного течения невозможно однозначно ввести потенциал скоростей. Скорость течения V в каждой точке является случайной функцией времени, и необходимо развивать статистический подход к описанию турбулентного течения.
Очень плодотворным является понятие вихря. С математической точки зрения вихревой характер течения имеет место тогда, когда отлична от нуля «работа» вектора скорости v по замкнутому контуру, получившая название циркуляции:
Г = <f vd? * 0. (4.24)
Рис. 4.14 \
На рис. 4.14 схематично изображены линии тока в фиксированный момент времени при турбулентном течении и показан контур I, по которому вычисляется интеграл (4.24). Символ <f означает, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Если размеры контура стягивать в точку, то в этой точке интенсивность вихреобразного течения будет характеризоваться ротором вектора скорости в соответствии с определением
(rot v) = lim
OAS '
(4.25)
Здесь AS — площадь маленького контура, п — нормаль к этой площадке, направленная туда же, куда и острие буравчика, рукоятка которого вращается в положительном направлении обхода контура. Формула (4.25) дает лишь значение проекции вектора rot v на направление нормали, поскольку контур ориентирован произвольно. Чтобы рассчитать компоненты вектора rot V, надо вычислить циркуляции по контурам, нормали к которым совпадают с соответствующими осями координат.
