Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве иллюстрации к сказанному подсчитаем ротор вихревого течения воды вблизи выпускного отверстия ванны. Если принять, что части- Лекция 4
73
цы движутся с угловой скоростью со, то циркуляция вектора скорости по контуру радиуса г с центром на оси сливного отверстия и лежащему в плоскости, перпендикулярной к этой оси, равна
Г = V • 2jtr = cor2jtr = 2jtr2co . (4.26)
При такой ориентации контура вектор rot v будет направлен по нормали п к контуру и равен
Г 2 лг 2 со
rotv = —-n =-т—n = 2са . (4.27)
AS лг2
Приведем без доказательства формулу для вектора rot v в декартовых координатах:
rot V =
'av„ ЭУД fSv2^av5Y favv av л I + ' dz Эх J +
'z _ "'У
Эу dz
-J- - * Эх Эу
k. (4.28)
/
Здесь i, j и к - единичные векторы вдоль соответствующих декартовых осей координат. Желающие могут подсчитать (4.27), пользуясь формулой (4.28).
О турбулентности атмосферы.
При описании атмосферы мы отмечали, что в нижнем (приземном) слое происходит интенсивное конвективное перемешивание воздуха. Скорость воздушных потоков в каждой точке является случайной функцией времени. Это подтверждается, например, оптическим явлением мерцания звезд, свет от которых рассеивается на случайных областях с повышенной и пониженной плотностью атмосферы. Это явление аналогично дрожанию и искажению объектов, наблюдаемых через пространство с сильным испарением воды после дождя в теплую погоду или бензина на автозаправочных станциях.
Вариации скорости в турбулентных потоках атмосферы также являются случайными, поэтому описание движения атмосферы требует статистического подхода. В полном объеме осуществить такое описание невозможно. Очень плодотворным является представление турбулентных потоков в виде
совокупности вихрей с размерами от f 0 ~ 1 мм до L0-1 м. Характерные размеры Iq и L0 носят название внутреннего и внешнего масштабов турбулентности, причем обе величины возрастают при удалении от поверхности Земли.
Внутренний масштаб возникает как результат последовательного распада больших, но неустойчивых вихрей на более мелкие, которые, в свою очередь, распадаются дальше вплоть до вихрей размером порядка нескольких миллиметров. Оценку величины внутреннего масштаба можно получить из следующих простых соображений. Если в потоке, движущемся со скоростью у, имеется неоднородность с линейным размером ~ I, то кинетическая энергия, переносимая неоднородностью,
^k = ~ P^v2 • (4-29)
Из-за наличия вязкости часть этой энергии диссипирует в тепло. Если неоднородность смещается на расстояние -I ,то количество тепла Q равно работе сил вязкого трения
Q = Fxp -I- ^i-Sf ~ HVf2. (4.30)
V 74
Механика сплошных сред
Здесь учтено, что
S~?7
площадь поверхности неоднородности, к
dv V
d7 ~ 7
которой приложена сила вязкости. Отношение кинетической энергии к количеству теплоты приблизительно равно числу Рейнольдса:
Ek _ pvl Q \i
= Re.
(4.31)
vtOv(r+0)
Если Ek>Q (Re>l), то силы инерции превосходят силы вязкости. В таком интервале скоростей, называемым инерционным интервалом, вихри распадаются на более мелкие, у которых число Рейнольдса Re-L При минимальных скоростях течения V-I см/с такому числу Рейнольдса соответствует I- 1 мм, что по порядку величины совпадает с внутренним масштабом турбулентности. А.Н. Колмогоров рассмотрел изменение во времени разности скоростей в точках пространства, разнесенных на расстояние I (рис. 4.15). Он установил, что средний квадрат разности скоростей ^[v(r + в) - v(r)] ^ можно
описать универсальной зависимостью в инерционном интервале ?0 < < L0. Для компонент вектора скорости, направленных вдоль в,
Dw = ([у,(г + в) - ve(r)f) = C2J2?. (4.32)
Функция D w называется структурной функцией пульсаций скорости
и описывается универсальной зависимостью Є2^3. Она не зависит от г вследствие статистической однородности пульсаций скорости, и не зависит также от направления вектора Q, а только от его величины I . Последнее является следствием статистической изотропности турбулентности. Структурная фун-
кция для поперечных компонент vt Dtt = ^[vt(r + Q)- vt (г)] j с учетом несжимаемости атмосферы (div v = 0) выражается через Dw следующим образом:
(4.33)
Dtt=J-A^Dw).
tt 2ЄйЄк
C2 называется структурной постоянной скорости и связана с энергией турбулентного движения.
Введенная выше функция скоростей Dw позволяет рассчитать структурную функцию флуктуаций температуры, также подчиняющуюся закону «2/3»: Лекция 1
75
Djj —
([Т(г + в) - Т(г)]2^ = С\ I2?.
(4.34)
Н,м
Вывод этой формулы может быть выполнен на основе усреднения решений уравнений гидродинамики и теплопереноса при учете (4.32), что выходит за рамки нашего курса.
Структурная постоянная температуры Cj может быть рассчитана, если
измерить микропульсации температуры с помощью чувствительных датчиков, разнесенных на расстояние і , и усреднить результаты за длительный (порядка 1 часа) отрезок времени. Такие датчики устанавливаются на мачтах, шарах-зондах и самолетах. В настоящее время широкое применение получили методы акустической локации, позволяющие изучать высотную зависимость Cj вплоть
