Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
гут обеспечить силы давления fj = -р;п, показанные на рис. 3.2 маленькими стрелками. Из рисунка ясно, что по мере приближения к S2 давление в жидкости падает, а затем возрастает. Это легко проверить, если сравнить уровни hj и h2 жидкости в манометрических стеклянных трубках, впаянных в горизонтальную трубку вблизи сечений S1 и S2. Поскольку P1 = Pgh1, р2 = pgh2, то pj>p2, так как hj>h2. На рис. 3.3 изображено распределение скоростей и давлений вдоль оси трубки (см. рис. 3.2).
Vl
_L
S2
Рис. 3.3
X
Для количественного описания течения жидкости разобьем поток жидкости по трубе на элементарные трубки тока, образуемые семейством линий тока. В поперечном сечении элементарной трубки тока скорость частиц приблизительно одинакова, и это обстоятельство существенно облегчает анализ течения жидкости.
Найдем связь между скоростью и давлением, качественно отображенную на рис. 3.3. При движении частиц воды вдоль осевой трубки сумма сил, приложенных к единице объема (см. (2.5)), обеспечивает его ускорение. В соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать
dvx dt
^ + F Эх х'
(3.3)
где Fv
— плотность силы, имеющая размерность Н/м3.
Отметим, что в уравнение (3.3) не входят силы вязкого трения, зависящие от скорости движения элемента жидкости. Впоследствии мы учтем их влияние и выясним условия, при которых ими можно пренебречь. Изменение скорости частицы dvx и связанное с ним ускорение может происходить и при стационарном движении частицы от широкого сечения к узкому (или наоборот), и при нестационарном изменении скорости течения (например, при медленном увеличении или ослаблении напора воды). Поэтому в общем случае скорость частиц является функцией не только координаты х, но и времени t:
dvv =
3vv
dt +
dvv
dx.
(3.4)
at Эх
где dx = vxdt — расстояние, пройденное частицей за время dt. Подставляя (3.4) в (3.3), получаем уравнение Эйлера
fivK
at
Эх
Эр
Эх
(3.5)
описывающее одномерное течение несжимаемой невязкой жидкости. При стационарном течении жидкости по горизонтальной трубе скорость не зависит от
времени
'to* dt
= 0
V
внешние силы отсутствуют (F =0). В этом случае уравне-
ние Эйлера принимает простой вид 46
Механика сплошных сред
PVs
dvx = dp
dx dx'
Здесь вместо Э / Эх используется символ полной производной d/dx.
(3.6)
Учитывая, что Vs
dvx
dx
_d_ dx
f 2 PVX
dx + P
( 2 Л v:
p = const, перепишем (3.6) в виде
= 0, или
pv>
+ р = const.
(3.7)
Равенство (3.7), устанавливающее связь между давлением и скоростью, является частным случаем уравнения Бернулли. Константа, входящая в это уравнение, определяется из значений давления и скорости в каком-либо сечении трубки тока.
Используя это уравнение, определим массу воды (расход), проходящую за единицу времени через сечение трубки, изображенной на рис. 3.2. В соответствии с уравнением (3.7) давления и скорости в сечениях S1 и S2 связаны соотношением
P1 ^ = P2
(3.8)
2 z 2
Искомый расход воды определяется равенством (3.1):
m = Pv1S1 = Pv2S2. (3.9)
Поскольку давления P1 =Pgh1 и р2 = pgh2 определяются по показаниям Iil и h2 манометрических трубок, то решая систему уравнений (3.8) и (3.9) относительно ш, находим
m =
2p(pt -P2) I S22-SF2
(3.10)
Для измерения расхода воды на практике применяются водомеры, основу которых составляет труба переменного сечения, оснащенная манометрами для измерения давлений P1 и р2 в сечениях S1 и S2.
Течение жидкости в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли.
Рассмотрим задачу о течении жидкости вдоль произвольных трубок тока, которые могут составлять некоторый переменный угол с горизонтом. Одна из таких криволинейных трубок показана на рис. 3.4. Если ввести криволинейную координату Є , совпадающую с осью трубки тока, то при стационарном течении скорость и давление жидкости являются функциями этой координаты. Проектируя силу тяжести на ось і , запишем уравнение Эйлера (3.5) в виде:
dv dp , 1Ч
pv— = ——+ pgcosa. (3.11)
dl dl
Здесь V — скорость частиц на оси трубки. Лекция 1
47
Если элемент жидкости сместился вниз на расстояние di, то он опустился на высоту dh < 0, при этом
cos а = - —. Подставляя значение cos а di
в (3.11) dv Id2
v- =--v
de 2 de
и используя тождество находим
d v2 dp dh
Р-^^ + -т- + Рё-г = 0. (3.12) de 2 de de
Для несжимаемой жидкости р = const, и последнее равенство трансформируется к виду
,2
Рис. 3.4
_d de
pv
+ P + pgh
= 0.
Интегрируя (3.13) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли
,2
+ р + pgh = const.
pv
(3.13)
(3.14)
Это уравнение описывает стационарное течение несжимаемой жидкости (иногда употребляют термин «идеальная жидкость») и играет фундаментальную роль в гидродинамических исследованиях. Если нам известны давление p1 и скорость v1 в некотором сечении трубки тока, находящемся на высоте h , то в любом другом сечении на высоте h величины р и v связаны
соотношением
