Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
F = pv2S = 2pgHS. (3.19)
Отметим, что если бы мы ошибочно приняли, что распределение давлений с глубиной у правой стенки такое же, как у левой, то реактивная сила получилась бы вдвое меньшей:
F' = pgHS, (3.20)
где pgH — величина гидростатического давления на глубине Н, S — площадь отверстия в правой стенке.
Однако можно добиться одинакового распределения давлений у обеих стенок, если конец трубки с острой кромкой будет отстоять от правой стенки,
как показано на рис. 3.9. В этом случае реактивная сила определяется по формуле (3.20). В (3.19) вместо сечения трубки S надо подставить сечение струи воды в трубке Sb = kS, где коэффициент истечения к ~ 1/2. Ясно, что при таком истечении трубка будет заполнена жидкостью приблизительно наполовину.
Реактивную силу можно увеличить, если повысить скорость истечения жидкости. Для этого следует использовать замкнутый сверху сосуд, а над свободной поверхностью жидкости создать давление P1 > р0. Тогда скорость истечения жидкости получается равной:
Рис. 3.9
V = J2
gH +
Pi "Po
(3.21)
а реактивная сила возрастает линейно с повышением избыточного давления Ap = Pi - Po наД свободной поверхностью жидкости. Лекция 1
51
Гидрорезание.
Если создать очень высокое избыточное давление, например, Ap ~ 5000 атм = 5-Ю8 Н/м2, то скорость истечения воды v = 1000 м/с. Если такую струю направить на какой-либо твердый материал, то его поверхность
PV2
будет подвержена гидродинамическому давлению р„ = —— = 5000 атм. Такое
2
огромное давление в ряде случаев может превосходить предел прочности ам некоторых материалов, и последние будут разрушаться под действием струи. Со второй половины 80-х годов получило развитие новое направление в обработке материалов — гидрорезание. В этой технологии водяной нож — высокоскоростная струя воды с диаметром иглы — легко режет материалы толщиной в несколько сантиметров со скоростью резания несколько десятков сантиметров в минуту. Для резки металлов, твердых сплавов, бетона и других материалов в струю добавляют абразивный порошок. Это позволяет значительно увеличить гидродинамическое давление и повысить производительность и возможности гидрорезания.
Сосуд Мариотта.
Весьма поучительным примером является истечение жидкости из сосуда Мариотта. Этот сосуд позволяет обеспечить постоянную скорость вытекания жидкости из сосуда, несмотря на понижение ее уровня. Для этого в сосуд через герметичную пробку в его горловине вводится трубочка, сообщающаяся с атмосферой (рис. 3.10). Скорость вытекания определяется по формуле Торричелли
V = V^gh , где h — высота нижнего
конца трубки над отверстием. Это происходит потому, что при вытекании жидкости из полностью заполненного сосуда давление под пробкой будет меньше атмосферного, воздух будет засасываться в сосуд через трубку, а давление в горизонтальной плоскости, совпадающей с нижним концом трубки, будет равно атмосферному. Скорость вытекания легко регулируется вертикальным перемещением трубки. Если конец трубки находится на уровне h = 0 или ниже отверстия, то жидкость не вытекает вовсе.
Рис. 3.10
Условие несжимаемости движущейся жцдкости.
Равенство (3.2), являющееся условием несжимаемости, связывает скорости движущейся жидкости в двух различных сечениях. Между тем, как на это неоднократно обращалось внимание в предыдущих лекциях, в физике 52
Механика сплошных сред
важно оперировать с равенствами или уравнениями, отнесенными к одной точке пространства.
Для этого рассмотрим деформацию движущегося кубического элемента жидкости. Если его объем через малый отрезок времени 5t не изменяется, то сумма диагональных элементов тензора деформации равна нулю, т.е.
Эи„ Эи
У , 'К
= 0.
Эх Эу Эг
Здесь ux, Uy и uz — смещения граней кубика в направлении соответствующих осей координат. Однако эти смещения связаны со скоростями движения граней (а точнее, частиц жидкости, находящихся в данный момент на этих гранях):
ux = vx5t,
Uy = vy5t.
uz = vz5t.
Используя эти равенства, получаем локальное (относящееся к одной точке пространства) условие несжимаемости в виде
3v„ av
v '=0. (3.22)
Эх
Эу dz
В физике для описания векторных полей, а в нашем случае речь идет о векторном поле скоростей V = v(x,y,z,t), используется понятие дивергенции (истока) поля в данной точке пространства. В декартовой системе координат выражение для div v имеет вид:
j- 5vX
div V = — dx
3v dv7 + ^ + (3.23)
1U^ dz
-
Эу dz
Дивергенция вектора является скалярной функцией координат и времени и легко рассчитывается, если известны компоненты векторного поля (в нашем случае vx, vy и vz). Поэтому условие (3.22) постоянства объема несжимаемой жидкости записывается кратко:
div v = 0. (3.24)
Уравнение (3.24) является одним из основных уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости.
Заметим, что имеется множество векторных полей, как, например, электрическое E = E(x,y,z,t) и магнитное В = B(x,y,z,t) поля и др., при описании которых также широко используется понятие дивергенции: div E или div В и т.д. Хотя она и вычисляется в соответствии с (3.23), определяется, однако, из других соображений, поскольку в электродинамике не идет речь о движении и деформации элемента материальной среды.
