Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.15
ір
(2.23)
то (2.22) может быть переписано в виде, аналогичном (2.7):
1 dp _ &Р _ р dx dx
Вводя далее для единицы массы потенциальную энергию U1, с которой вне-
(2.24)
шняя сила связана соотношением
Г(х) = -
получаем уравнение, аналогичное (2.9):
du,
dx '
(2.25)
— (Я+ U1) = О, или Я+ U1 = const, dx
(2.26) 36
Механика сплошных сред
Замечание. Вспомогательная функция Я(х) зависит от верхнего предела р интеграла (2.23), вычисление которого возможно при известной связи между давлением и плотностью. С другой стороны, если найти зависимость Я(х) (с помощью (2.24) или (2.26)), то можно определить функцию р(х) в (2.23), что позволяет получить распределение давлений.
Очевидно, что поверхности равного значения величины р совпадают с поверхностями равного давления. В задачах с трехмерным распределением давления и плотности вспомогательная функция
P(x,y,z) d
У,z) = J f, (2.27)
Pi н
а условие равновесия имеет вид
grad р = W. (2.28)
Поскольку сила ^связана с потенциальной энергией единицы массы соотношением
W = -grad U1, (2.29)
то подстановка (2.29) в (2.28) дает условие
grad (Я + U1) = 0, или P + U1 = const. (2.30)
Следует отметить, что условие равновесия (2.28) является более общим, чем (2.7), т.к. позволяет рассчитать распределение давлений как в жидкостях, так и в газах.
Атмосфера в поле силы тяжести.
Многочисленные исследования атмосферы, проведенные при помощи аэростатов (см. ниже), ракет и искусственных спутников Земли, показывают, что по мере увеличения высоты давление и плотность монотонно убывают, а температура монотонно убывает лишь в нижнем 10-километровом слое, а в более высоких слоях меняется немонотонно. Параметры атмосферы зависят как от географического положения места, так и от времени года. В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 2.16 представлены высотные зависимости параметров среднестатистической атмосферы Москвы, полученные в летнее и зимнее время. Если разница в высотных зависимостях температуры атмосферы составляет десятки градусов, то распределение «зимнего» давления отличается от «летнего» всего лишь на несколько процентов, и на рисунке эта разница неразличима.
Сложная высотная зависимость температуры атмосферы есть результат совместного проявления процессов тепломассопереноса, инициируемых излучением Солнца. Расчеты показывают, что если бы атмосфера и Мировой океан, называемые жидкой оболочкой Земли, не поглощали бы энергию солнечного излучения, то Земля нагрелась бы на экваторе до 270 К, на Южном полюсе — до 150 К и на Северном полюсе — до 170 К. При таких температурах установилось бы радиационное равновесие: нагретая Земля излучала бы в мировое пространство столько энергии, сколько получает от Солнца. Однако поверхность Земли значительно теплее, а контраст температур между экватором и полюсом намного меньше. Это — результат поглощения солнечной энергии самой атмосферой. Кроме того, атмосфера и океан переносят тепло от одной области к другой, что также влияет на энергетический баланс. Лекция 1
37
Т, км Р, Па
Рис. 2.16
Поглощение солнечной энергии осуществляется главным образом водяным паром, углекислым газом и озоном, вследствие чего создается «парниковый эффект», приводящий к дополнительному нагреванию поверхности Земли. Поскольку воздух вблизи поверхности более теплый и легкий, чем воздух сверху, то он всплывает вверх (вертикальная конвекция), и нижний слой атмосферы перемешивается. Поэтому распределение температуры, изображенное на рис. 2.16, является результатом динамического равновесия атмосферы в поле силы тяжести, при котором соблюдается баланс энергии. Радиационное равновесие можно рассчитать, если принять во внимание, что в нижнем слое атмосферы основным физическим фактором, отвечающим за достижение равновесия, является поглощение радиации водяным паром. На больших высотах доминирующим является поглощение углекислым газом и озоном.
Атмосфера делится на отдельные участки, как это видно из рис. 2.16. Нижний слой атмосферы, называемый тропосферой, содержит 80% массы атмосферы, почти весь водяной пар и облака и характеризуется сильным вертикальным перемешиванием. Сверху тропосфера ограничена тропопаузой, где температура атмосферы меняется очень мало. Выше расположена стратосфера, которая слабо перемешивается. Ее устойчивость обусловливается повышением температуры с высотой в результате радиационного баланса. Возрастание температуры заканчивается в стратопаузе. Выше находится мезос-фера, где температура опять падает. Мезосфера содержит лишь 0,1% массы всей атмосферы. Выше мезосферы (Н > 100 км) находится термосфера, в которой температура опять растет с высотой, достигая 600 К в период спокойного Солнца и более 2000 К в период солнечной активности.
Для вычисления изменения атмосферного давления с высотой воспользуемся условием равновесия (2.24) в виде: 38
Механика сплошных сред
j_ dp р dx
= -8.
(2.31)
P = P-
(2.32)
Связь между давлением и плотностью для сухого воздуха задается уравнением состояния идеального газа
