Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
P + + pgh = Pi +
pv1
+ Pghi
(3.15)
2 го п 2
Давление р — это статическое давление, измеряемое манометром, трубка которого ориентирована перпендикулярно линии тока, либо движу-
,2
щимся вместе с жидкостью. Величина
pv
называется динамическим давлением, смысл которого будет раскрыт позднее. Заметим, что в покоящейся жидкости равенство (3.15) описывает гидростатическое распределение давлений.
Уравнение Бернулли может быть также получено на основе баланса энергии. В отсутствие сил вязкости приращение суммарной (потенциальной и кинетической) энергии массы воды, находящейся в трубке тока между сечениями S1 и S, (рис. 3.5), равно работе сил давления. Из48
Механика сплошных сред
рисунка видно, что за время dt элемент жидкости массой dm = pSjVjdt = pS2v2dt опустился с уровня hj на уровень h„ а его скорость увеличилась от величины v1 ДО v2.
Приращение кинетической энергии равно
dEK = dm
С 2 V2
2 А Vl
4p(S2v2 - SjVj jdt.
Изменение потенциальной энергии составляет
dEn = dm • g(h2 - Ii1) = pg(S2v2h2 -S1 Vjh1 )dt. Работа сил давления
dA = P1S1V^t - P2S2v2dt.
Записывая уравнение энергетического баланса в виде
dEK + dEn = dA,
получаем уравнение Бернулли:
2 2 PV1 и PV 2 u
P1 + — + Pgh1 = P2 + — + Pgh2.
Вывод уравнения Бернулли на основе энергетического баланса делает более понятным физический смысл входящих в него членов. Так, статическое давление р численно равно работе сил давления, совершаемых над еди-
,2
(3.16)
ничным объемом жидкости; динамическое давление
pv
есть кинетическая
энергия этого единичного объема, а величина pgh является его потенциальной энергией в поле силы тяжести.
Применим уравнение Бернулли к расчету течения жидкости в ряде интересных физических задач.
Вытекание жцдкости через отверстие в сосуде.
Пусть жидкость, заполняющая сосуд, под действием силы тяжести вытекает из него через отверстие в боковой стенке, расположенное вблизи
дна сосуда (рис. 3.6). В отверстие вставлена горизонтальная трубка с закругленной внутренней кромкой, направляющая вытекающую струю воды. Закругление кромки обеспечивает полное заполнение трубки вытекающей жидкостью.
Разобьем текущую жидкость на трубки тока. Одна из таких трубок изображена на
„ ^ рисунке 3.6. Хотя мы и
Рис. 3.6Лекция 4
49
не знаем, как выглядят эти трубки, однако все они начинаются на свободной поверхности жидкости и заканчиваются на выходном торце сливной трубки. Если площадь отверстия трубки S значительно меньше площади свободной поверхности S0, то при истечении жидкости ее поверхность будет оставаться горизонтальной и опускаться с некоторой малой скоростью v0. Это означает, что константа, входящая в уравнение Бернулли (3.14), будет одинакова для всех трубок тока:
2
const = ^y1- + Po + PgH .
Здесь H — высота столба жидкости над сливной трубкой. Поэтому скорость истечения жидкости V определяется из уравнения
^ + Po =^y-+ Po+PgH, (3.17)
где р0 — атмосферное давление на свободной поверхности и у сливной трубки. Поскольку S « S0, то из условия несжимаемости (3.2) следует, что v0« v. С учетом этого скорость истечения получается равной
v = V2gH- (3.18)
Эта формула носит название формулы Торричелли. Сразу бросается в глаза, что скорость истечения жидкости из сосуда такая же, как и при ее свободном падении с высоты Н. В этом нет ничего удивительного, поскольку вязкостью мы пренебрегли, а работа сил атмосферного давления над трубкой тока равна нулю. Поэтому, как и при свободном падении тел в отсутствие сопротивления воздуха, приращение кинетической энергии равно работе силы тяжести:
^ = PSH.
Справедливость формулы Торричелли можно легко проверить, если на выходную трубку надеть кусок гибкого шланга и вытекающую струю воды направить вверх под небольшим углом к вертикали (рис. 3.7). Струя поднимется практически до уровня поверхности жидкости. Если же струю жидкости направить вертикально вверх, то падающие вниз частицы будут тормозить поднимающиеся, и струя не сможет подняться на высоту Н.
Интересно отметить, что трубки тока жидкости расположены преимущественно ближе к стенке сосуда с отверстием, в то время как у противоположной (левой на рис. 3.8) стенки жидкость практически малоподвижна. Это означает, что на левую стенку действуют силы давления, которые легко
Рис. 3.7
Рис. 4.3450
Механика сплошных сред
подсчитать, используя линеиныи закон нарастания гидростатического давления с глубиной. Расчет же сил давления, действующих на правую стенку, требует учета движения жидкости. Однако и без такого расчета ясно, что в трубке тока, примыкающей к правой стенке, давление на каждом уровне будет меньше соответствующего этой глубине гидростатического давления. Это означает, что равнодействующая сил давления, действующих на обе стенки, направлена в сторону, противоположную направлению истечения жидкости. Под действием этой силы, называемой также реактивной, сосуд, поставленный на тележку с колесами, может привести эту тележку в движение. Величину этой силы легко подсчитать, используя формулу Торричелли. По 3-му закону Ньютона искомая реактивная сила равна по величине силе, с которой стенки сосуда действуют на воду, вызывая изменение ее импульса в направлении истечения. Поскольку масса воды, вытекающей в единицу времени через отверстие с сечением S, равна pvS, то изменение импульса в единицу времени составит величину pv2S. Поэтому реактивная сила