Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля.
Рассмотрим течение вязкой жидкости, обратившись непосредственно к опыту. Подсоединим тонкую горизонтальную стеклянную трубу с впаянными в нее вертикальными манометрическими трубками при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 4.6). При небольшой скорости течения хорошо видно понижение уровня воды в манометрических трубках в направлении течения (hj>h,>h3). Это, в свою очередь, указывает на наличие градиента давления вдоль оси трубки — статическое давление в жидкости
уменьшается по потоку. а —z.
При равномерном прямо- ill
линейном течении жидкости силы давления уравновешиваются силами вязкости. Уравнение Навье-Сто- Рис. 4.6 кса для этого случая запишется в виде
dbftj
hi
h, 68
Механика сплошных сред
К
Рис. 4.7
-grad р + (aAv = 0. (4.12)
Распределение скоростей в поперечном сечении потока вязкой жидкости можно наблюдать при ее вытекании из вертикальной трубки через узкое отверстие (рис. 4.7). Если, например, при закрытом кране К налить вначале неподкра-шенный глицерин, а затем сверху осторожно добавить подкрашенный, то в состоянии равновесия граница раздела Г будет горизонтальной. Если кран К открыть, то граница примет форму, похожую на параболоид вращения. Это указывает на существование распределения скоростей в сечении трубки при вязком течении глицерина. Это распределение можно найти, проинтегрировав уравнение (4.12), записанное в цилиндрических координатах (х, г). Однако можно поступить и проще. Приравняем нулю сумму сил вязкости и давления, действующих на цилиндрический объем жидкости радиуса г и длиной dx (рис. 4.8):
(р(х) - р(х + dx)W2 + ц2лк1х — = 0.
dr
(4.13)
R.
\ P(X) /
.Г\—т\ г
Ь
dx P(x+dx)
X
Рис. 4.1
dp 2 dv „
— + ц--= 0.
dx г dr
Отметим, что равнодействующая сил давления направлена по потоку (вдоль оси х), а сила вязкого трения, приложенная к боковой поверхности выделенного цилиндра — против потока, поскольку dv/dr<0. Произведя сокращение и разделив (4.13) на dx, получаем
(4.14)
dp
Величина градиента давления — в (4.14) не зависит от радиуса г, т.к. давле-
ClX
ние р = р(х) и в поперечном сечении X = const не меняется. Это позволяет проинтегрировать (4.14):
^}rdr = 2n}dv. (4.15)
UX R 0
Уравнение (4.15) дает возможность рассчитать распределение скоростей v(r) при условии, что у стенок трубы эта скорость равна нулю. Из (4.15) получаем
w 4(i dxv ;
(4.16)
dp
Давление равномерно падает в направлении оси х, поэтому —— > 0
dx Лекция 1
69
и не зависит от х. Параболическое распределение скоростей (4.16) в одном из сечений трубы изображено на рис. 4.8. Поток вектора скорости через поперечное сечение трубы, или объем жидкости, протекающей через сечение в единицу времени (на практике употребляют термин «расход жидкости») оказывается равным
R _d4
N'=HS = Jv(r)2*rdr = ifL^| (417)
Для практических целей расход жидкости определяют по формуле Пуазейля
JtR4 р. -р2
Здесь расход воды Nv пропорционален разности давлений P1 — р, на концах трубы длиной I. Следует обратить внимание на существенную зависимость пропускной способности трубы от ее радиуса R. При заданном давлении на входе водопроводной сети увеличение диаметра труб вдвое приводит к увеличению их пропускной способности в 16 раз!
Пользуясь формулой Пуазейля, можно определить вязкость жидкости. Так, например, в опыте, изображенном на рис. 4.6, легко измерить разность давлений и расход жидкости и при известном радиусе горизонтальной трубки рассчитать вязкость жидкости. Однако более удобно вязкость жидкости определять по методу Стокса, измеряя вре- ^uc- 4.9 мя падения шарика в этой жидкости (см. ниже).
Параболический профиль скорости слоев, как нетрудно подсчитать, будет и при течении жидкости между двумя пластинами, как изображено
на рис. 4.4. Если этот рисунок разрезать посередине на высоте % и наклонить нижнюю пластину под углом а, то мы получим картину течения воды в реке под действием силы тяжести (рис. 4.9). При расчете профиля скоростей
dp
іта давления
тяжести Fx = pg sin а .
течения вместо градиента давления — можно использовать компоненту силы
Ламинарное и турбулентное течение.
Обратимся теперь к вопросу об устойчивости течения жидкости по трубам. С этой целью поставим следующий эксперимент. Пусть жидкость вытекает из сосуда через горизонтальную стеклянную трубку (рис. 4.10). Для контроля за характером течения будем при помощи капилляра впускать ту же, но окрашенную жидкость во входное сечение трубки.
В случае малого поперечного сечения трубки и не очень большой скорости течения окрашенная струйка движется прямолинейно строго вдоль оси 70
Механика сплошных сред
трубки (ситуация а на рис. 4.10). При большем сечении или при увеличении скорости наблюдается нерегулярное движение, когда струйка разбивается на множество извилистых струек (ситуация б). В первом случае движение называется слоистым, или ламинарным, а во втором — турбулентным. При ламинарном течении силы вязкости сглаживают боковые движения жидкости, возникающие вследствие флуктуаций и различных неровностей стенок трубы. При недостаточной вязкости случайные боковые движения жидкости усиливаются, способствуя тем самым возникновению турбулентности. Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при некотором числе Рейнольдса, получившем название критического:
