- .
( ):
Af,-o(^) (8.2)
при <70-моо. Мы предположим, что р этом пределе борновскими членами можно пренебречь, для чего доста'г точно, чтобы
''„-О (-£•), F*-0(.Jr) (8.3)
при q2 -> — оо.
Мы будем рассматривать в основном расходящуюся часть электромагнитной поправки к массе, которую будем вычислять методом Коттингэма [13]. Она возникает только нз членов, содержащих и М2, поскольку борновские вклады были вычислены [14] с помощью измеренных электромагнитных формфакторов и оказались сходящимися:
=-i? J 9[{q2+2v2) M*Mi (q2>v) “ *q2Mi {q2'v)1+
+ (борновские члены), Mv — q - P. (8.4)
Следуя Коттингэму [13], перейдем от интегрирования по <70 к интегрированию по iq0 и выразим Мх и М2
через дисперсионные интегралы по v без вычитаний
м, («*, v)-|J "vV1”y ,-). (8.5)
V
МИН
Из этого дисперсионного соотношения следует (так как порог уияи —> оо как —q2IM), что при q2= — Ar, \ = ik cos0,
‘) Случай, когда вычитания необходимы, интересен и заслуживает изучения..Он, в. частности, важен для неупругого рассеяния электронов прн больших q2. .
14. Приложения киральной алгебры плотн. токов U(6) ®{/(6) 369
COS 9 < 1
Mt (q2, v) -> M{ (q2, 0) при fe —>• oo. (8.6)
Следовательно, расходящаяся часть 6М имеет Вид
6МРасх - £ Jk2dk2[jM2Mt (-k2, 0)-Ж2(-1г2,0)]. (8.7)
Мы видим, что 6Мрасх зависит от члена О (1/Л4) в М{ (k2,0). Именно этот член определяется одновременными ком* мутационными соотношениями токов с гамильтонианом Н. Согласно соотношению (2.7), мы имеем ') при q0->ioo, q = О
^ J d3x (ps 11 [/№ (0, x), Я], /v (0)} I ps), (8.8)
тогда как из .соотношений (8.1) и (8.6) следует, что -*■ [ЛА-Ч-Р (ц^Ру+^Р^+Ы • р? ^nvl <fM\ (<72. 0)+ + (Vlv - £nv) Я*м2 (q2, 0), (8.9)
где q^ = ri^o- Чтобы вычислить двойной коммутатор, необходимо задать вид гамильтониана сильных взаимо-действий. Прй этом результаты, по-видимому, сильно зависят от выбранной модели. Однако в рамках кварковой модели, вероятно, можно утверждать, что двойной коммутатор не обращается в нуль. Для иллюстра: ции — и только для иллюстрации — мы рассмотрим простую кварковую модель, в которой з
Я = J с?ху](х) [-ia • V+pтг+£^5“ (*)] ♦,(*) + нв^
i=i
= Н0 + НМ + Н, + Нв. (8.10)
В этом выражении tpt — кварковые поля; В* {х) — нейтральное векторное поле, соответствующеесинглету Sf/ (3); Яд— гамильтониан fi-мезона, включающий возможные
*) Заметим, что если бы киральиаи симметрия U (6) ® U (6) $1ла точной, то этот коммутатор обратился бы в нуль.
390
Дж. Бьёркен
члены самодействия. Единственным достоинством этого гамильтониана Я является то, что он обладает простой алгебраической структурой и соответствующей ему алгеброй токов является киральная алгебра U (6) ® [/.(6).
Теперь мы можем вычислить коммутатор (8.8). Достаточно рассмотреть только пространственные компоненты токов и jv, поскольку г|мМмл’ = О (l/<7o)> что следует из соотношения (8.9) или из (8.8). Тогда
J d3x [ [j,i0, х), Я0], jj (0)] = - 4iV [a,Vy - 6„a • V] Q2^,
J d3x [ [U (0, x), HM], jj (0)] = - 4^MQ2^61/, (8.11)
J d3x [ [ji (0, x), Hf], j,- (0)] = 4gTl>+ [atBj - ца ■ В] Q2^.
В этой модели «расходящаяся» часть расщеплений масс преобразуется в пределе SU (З)-симметрии как унитарный октет. Это следует из того, что матрицы Q2 и Q2M можно представить в виде линейных комбинаций матриц 1, Х3 и V Непосредственным обобщением этого результата является следующая теорема.
