- .
( ):
§ 4. Среднее по протонным состояниям
Мы рассмотрим теперь тот же коммутатор между протонными состояниями с одинаково направленными спинами и равными импульсами и усредненный по спину ')• (Члены, зависящие от спина, мы рассмотрим позднее.) Этот случай был рассмотрен Адлером, который получил правила сумм при фиксированном переданном импульсе [6]. Для ковариантной амплитуды Af(lv имеет место следующее общее представление:
= т 2 J dixeiq-x <Ps | Т (/+ (х) /- (0)) I Ps) +
S
+ (швингеровские члены) = РцР$ 1 (</2> v) + (P^v + Р^у) X
X%{q2> v) + qllqv%3(q2, v) + (q2, v), v = -2^-, (4.1)
*) Полученные при этом результаты справедливы для любого одночастичнэго состояния.
378
Дж. Бьёркен
которое мы перепишем в виде
= P(lPvM0(v) + [</2PllPv—(<7 • P)(qllPv+qvPll) + (q • Pfq^\ X X М, (q2, v) + (qtfv - g^2) M2 (q2, v) +
+ (<7npv + qyPц - gnW • P) M3 {q2, v) +
+ gnvM4 (q2, v) + + D^. (4.2)
Здесь — борновский член, D„v—несвязная ковариант-ная амплитуда, совпадающая с амплитудой (3.2)');
где Fl0 и F2o — изовекторные формфакторы Дирака, нормированные соответственно на 1 и {%P — %N).
Для q2< 0 (q — пространственно-подобный 4-в.ектор) абсорбтивные части амплитуды М^ сводятся к сохраняющимся членам М, и М2, которые удовлетворяют дисперсионному соотношению по v при фиксированном q2. Таким образом, при фиксированном q2 величины М0, М3 и М4 является полиномами по v.
Переходя к построению из МЙУ, мы видим, что будет давать вклад в швингеровский член, а величина М0 полностью выпадает. Если
q2M,—>0, q2M2->0, q • РМ3-*-0, М4->0 (4.4)
при q0 —> zoo (v —> i оо, q2 —► — оо), то никаких других швингеровских членов не возникает. Эти предположения являются естественными, и мы принимаем их в дальнейшем. Тогда Мцу определяется выражением (4.2), в котором нужно опустить член, содержащий М0, и
nv М (q2 + 2Mv)
(■Fiv + F2v)2, (4.3)
') С точностью до множителя (2л)3 (Е/М) б3 (0).
14. Приложения киральной алгебры плотн. токов 1/(6)® U(6) 379
сделать замену D^. Образуя дивергенцию, полу-
чаем
(рV ”л” *7vj г 2 -1
q*Milv=q2PvM3+qvMi+------------^-----[fL - F^ + qv-D^.
(4.5)
Из локальных коммутационных соотношений [1] с помощью выражений (2.2) и (2.3) получаем
= } S J Л (Ps I [/о+ (0, х), /; (0)] | Ps) e-iq x =
s
= 2 (Ps I /v (®) I Ps} (несвязная часть) =
= (“до") “t“ (несвязная часть). (4.6)
Сравнивая выражения (4.6) и (4.5), находим
(4.7)
Интересный результат получается в случае, когда
0, q\M2~* 0, q2F{< оо. (4.8)
Тогда при q0-*-ioo весь вклад возникает из М3:
„„ <V>V + тI'vP* - ^uvTl • Р) . у, лЧ
М-----------------Wo------------’ (4>9)
отвлекаясь от швингеровского члена в несвязной части '), получаем
\ 2 J d3^-'q-x (Ps I [/•; (0, х), /; (0)] I Ps) =
s
Г)цРу + Th;Рц - guvV ■ P
M
. (4.10)
*) Фактически мы можем положить q = 0; в ЭТОМ случае щвиц-геровский член не возникает сорреад.
380
Дж. Бьёркен
Этот результат как раз соответствует кварковым токам \h (0, х), j{ (0)] = 2Ц (0) б3 (х). (4.11)
Таким образом, можно заключить, что теория, которая является „настолько регулярной, насколько это возможно", по-видимому, как раз и соответствует кираль-ной алгебре токов t/ (6) <S> t/ (6).
Если потребовать, чтобы коэффициент npn(Pllqv+ в амплитуде удовлетворял дисперсионному соотношению без вычитаний, то получится правило сумм Адлера; мы не будем здесь останавливаться на деталях, так как этот вопрос подробно обсуждался в литературе [7, 6].
