- .
( ):
Т„(Р, К) = 2+ + о
Собирая полученные выражения, мы находим вклад перенормированных членов в амплитуду
а»'*’ ~ 0ег±-v„(1 _ vA
■ ■ (9.15)
» - Ge2 [Vv + fyfea-gva йуа (1 _ Ys)_
Складывая (9.2), (9.9) и (9.15), получаем проверку градиентной инвариантности
& {ЗЯ$ + + 0R{?J) = 0. (9.16)
Теперь мы можем вычислить радиационную поправку. Умножим найденные амплитуды на l/2 D[lv(k)d4k-/(2n)4,' где величина D^v пропорциональна (l/fe2)(^v + Kk^kjk2), и проинтегрируем. С диаграммами, типа а (фиг. 3) нужно обращаться осторожно, чтобы учесть следующий из per дукционной формулы мноЖитель УZ2 перед амплитудой. Вклад этих диаграмм имеет вид
14. Приложения киральной алгебры пАотн. токов U (6) ® U (Ъ) 399
Из соотношений (9.8) и (9.15) получаем вклады диаграмм бив
Следовательно, в главном порядке по а амплитуда пионного p-распада имеет следующую структуру:
Таким образом, использование киральной алгебры токов U (6) 0 U (6) приводит к серьезным трудностям при построении последовательной теории радиационных поправок к слабым полулептонным процессам. Эти трудности нельзя отнести за счет того, что мы не знаем формфакторов, возникающих из-за сильных взаимодействий. Однако даже при обрезании Л2 ~ 1/G поправка в формуле (9.20) составляет только около 1%.
§ 10. Электрои-позитронная аннигиляция в адроны
В этом., параграфе мы применим те же рассуждения» что и в § 8, к среднему по вакууму от электромагнит-, ных токов. В соответствии с определением (3.1)
2 (0 IU (0) I п) {п Цv (0) I 0) (2я)4 б4 (Рп ~ q) =
п
= Mv-g|*v?2) Pto2)- OP-1)
= -£(1+У1п-£и.. (9.19)
\
ак ~ GPaa Г (1 - Yb) «{I + Ir in£ } • (9.20)
400
Дж. Бьёркен.
Функция р (q2) связана с полным_сечением процесса е+ + е~ -+ (адроны) при энергии W в системе центра масс:
, 2ч 16я*агр (<?г)
СТполн (я2) =---
Умножая соотношение (10.1) на En = q0 и интегрируя по <7о> мы получаем (предполагаем, что существует двойной коммутатор)
f d*x (01 [/V (х), [Я, /„ (0)] ] I 0) = (ун, - gj j g q2p (q2) -(4n4v-£nv) Г dq2 л /
= 16я2а2 J 2ji ? <7п0лн ^ )' (Ю-2)
Вернемся к гамильтониану в кварковой модели (8.10) и вычислению двойного коммутатора (8.11). Уже член кинетической энергии приводит к трудностям:
/ «р* <01 !/,(*), [Яо, //(0)1110)-
. = — 4i <01 -ф+ (a4Vу — бг/а • V) Q2i|> 10> =
= 4 J w SP №1 - М • k>Q2S <*>■ 00.3)
где S (k) — функция распространения для неперенорми-рованных кварковых полей
5 (М = i Г ffePi (тг) + Ра («ж)1
' ' J k2 — тг
и
J rfm2p, (m2) — 1, pi^O. (Ю.4)
Очевидно, что член с двойным коммутатором квадратично расходится:
J_ <01 [/, (дс), [Я0, '},(0)] ] 1 0) ~ j d4k j dm2px {m2). (10.5)
Массовый член пропорционален вакуумному среднему (01 ajiQ2Mi|> 10), которое связано с матричным элементом
<0l[Qa+Kc. W0).J| 0>~<0 [${х+, {т- AfjJ + IO) (10.6)
14. Приложения киральной алгебры плотн. токов U(6) ® U (С) 401
и даст конечный вклад, если мы воспользуемся гипотезой о частичном сохранении аксиально-векторного тока и в сумме по промежуточным состояниям ограничимся пионом [1].
К сожалению, член, описывающий взаимодействие, труднее поддается анализу, однако маловероятно, чтобы он точно скомпенсировал квадратичную расходимость от первого члена. Мы можем заключить, что
