Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 q I4 d I q I d° du>' 312 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
Интегрирование по ш' может производиться в интервале от
-СО ДО -{-ОО и сводится к взятию вычетов в точке U)'=C |<7[.
Опуская в дальнейшем несущественные для нас коэффициенты, напишем это выражение после выполнения интегрирования по ш':
Г \q \4d \q \d cos 6
J c\q\ + t(p — q)—u>'
Хотя сам этот интеграл сходится на верхнем пределе, его особенность определяется поведением подынтегрального выражения в области малых ( q |. Разложим знаменатель, используя (26.10). Для отыскания особенности существенны малые углы 9 <CI 1. поэтому с требуемой точностью в квадратичных членах можно положить cos 6=1. В результате имеем:
I" _IgMglrfCQgB_
J х+с I q \ (1—cos 0)-2? Ap \ q | q |»
CV)/\q\2\n{x — 2§\q\\pAr§ \ q\*)d\q\.
Здесь введено обозначение х = с\р — Ae -)- ? (А/?)2- Разлагая выражение под логарифмом на множители и интегрируя, получаем:
Ul(^)3Inkl+U2^J Ink2, (26.14)
где
?b2 = ?Aр± Vi^pf
Из (26.14) видно, что G~l(p) действительно имеет особенность в членах более высокого порядка, чем те, которые были использованы при выводе последнего выражения. Это обстоятельство оправдывает все сделанные предположения о малости нерегулярных членов.
Определим последние члены в непосредственной близости к полюсу G (р), т. е. при
1*1 с ? (AjO)2.
В этом случае можно пренебречь членом с k2. Тогда получаем из (26.14)
(Ар)3 In (—Ар). (26.15) § 26] свойства спектра вблизи точки окончания 313
Согласно (26.12) и (26.15), в окрестности полюса гриновская функция G (р) имеет вид
0 = M — Ef — с Ap — [і (Ар)2 — а (Ар)3 In (— Ар) '
Эта функция определяет энергию элементарного возбуждения вблизи порога. Ниже порога затухание отсутствует:
s {Р)=ч+с (IP i-pch-p (Ip 1-р,)2+я ( Ip I-Pcf і" (\Ре -1P d-
Выше порога \р\~>рс энергия возбуждения имеет отрицательную мнимую часть, равную —cm (Ар)3:
є (p) = єе + с( ip |-ре) + !ни- Pc)2 +
+ а(\р\ — pcf In I pc— \p 11 — am (| p | — pcf.
Отсюда, в частности, следует, что должно быть а > 0. Таким образом, при \р\~>рс возбуждения не существуют как незатухающие: время жизни возбуждений обратно пропорционально (|р|—рс)3. Малость затухания вблизи порога связана с тем, что взаимодействие с длинноволновыми фононами всегда является слабым из-за наличия множителя | q | в Г.
4. Свойства спектра вблизи порога распада на два возбуждения с параллельными не равными нулю импульсами. При интегрировании по q в (26.6) существенны, как это следует из физических соображений, те значения импульса q и частоты ш', с которыми рождаются возбуждения вблизи порога. Но эти значения импульса и энергии не являются особыми для гриновских функций рождающихся возбуждений. Единственная особенность такой точки заключается в том, что в ее окрестности данное возбуждение могло бы «слипнуться» с другим — процесс, который невозможен при абсолютном нуле из-за отсутствия реальных возбуждений. Поэтому гриновские функции, стоящие под интегралом в (26.6), имеют вблизи полюса простой вид (26.4):
где e(q) вещественно и не имеет особенностей в рассматриваемой окрестности значений вектора q. Это обстоятельство сильно облегчает исследование вопроса.
Рассмотрим одну из петель в совокупности цепочек, соответствующих, согласно рис. 81 или уравнению (26.7), правой 314 система взаимодействующих бозе-частиц [гл. v
части уравнения (26.6). Фигурирующие в вершинах этой петли величины Г (P1P2', P3Pd или Г<°)(/?, р — q, q), очевидно, никакими особенностями не обладают. В дальнейшем мы будем повсюду опускать их при вычислениях как приводящих лишь к несущественным коэффициентам или регулярным добавкам в гриновской функции. Ограничимся в изучаемой петле областью интегрирования по q, близкой к значениям импульса q0 и энергии є0, с которыми рождаются возбуждения. Подставляя выражения для гриновских функций (26.4) и интегрируя по ш', получим, что та часть интеграла в петле, которая содержит особенность, может быть представлена в виде
dq
/
® (Я) + ? (Р — Ч) ¦
Поскольку при \р\ = рс выражение є (q) -(- є (р — q) должно иметь минимум, при значениях |р\, близких к рс, оно имеет вид
в (q) + S (р - q) ~ зс + Pc bp + a (q - q0f + Hq ~ f" Рс)-,
Pc
где vc — скорость каждого из образующихся в пороговой точке возбуждений, ^0 — импульс одного из рождающихся возбуждений (напоминаем, что вылетающие после распада возбуждения имеют импульс, направленный вдоль вектора рс). Коэффициенты а и ? в этом разложении определяются видом функций є (р — q) и є (q):
а= „ V°P< . . B = U^
^Чо(Рс-Яо)
-4-/ — ^ vCPe )
\ дЯ2 Iq = P -q, <?0 (Рс ~Яо) Г
Вводя новую переменную u = q — qQ, (ирс) = ирс cos ф, получаем:
/
м2 du d cos ф
vc Др — Де -f- аи-г + Pu-2 cos2 Ф
OcVvC bp— Дє-
Суммирование всех петель не изменит характера особенности, поскольку в отличие от фононного случая полная трех-частичная функция Г (р. р — q, q) при интересующих нас значениях j q j—q0 не должна обращаться-ни в нуль, ни в беско- § 26] свойства спектра вблизи точки окончания 315
