Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Подчеркнем еще раз то обстоятельство, что предыдущий анализ не опирался ни на конкретный вид взаимодействия частиц между собой, ни на слабость этого взаимодействия. Нами были использованы только общие фундаментальные соотношения между точными величинами, определяемые диаграммной техникой J).
§ 27. Применение методов теории поля к системе взаимодействующих бозе-частиц при конечной температуре
В заключение мы в этом параграфе рассмотрим возможность обобщения изложенной выше методики на случай системы бозе-частиц, взаимодействующих при конечной температуре. Такое обобщение естественно пытаться строить на базе общей схемы. С этой целью перейдем сразу же к термодинамическому описанию системы, в котором роль независимой переменной играет величина химического потенциала [а
') Недавние экспериментальные данные [43, 44] указывают, по-видимому, что в реальном He4 осуществляется распад на два ротона. § 27] применение методов теории поля при Тф 0 319
вместо полного числа частиц N в системе. Мы уже указывали выше, что в идеальном бозе-газе при температурах ниже точки бозе-конденсации такое описание невозможно, поскольку химический потенциал газа, определяемый из условия постоянства среднего числа частиц в системе, оказывается тождественно равным нулю в этой области температур.
Как известно, в идеальном газе распределение бозе-частиц по состояниям с импульсом р имеет вид
— 1
nP ~ ъ(р)-?.
е т -1
Это распределение имеет смысл только при отрицательных (х. При достаточно высоких температурах |х < 0; точка, где химический потенциал обращается в нуль, как раз и определяет температуру бозе-конденсации. При меньших температурах необходимо положить ръ равным нулю тождественно. Условие же постоянства среднего числа частиц в системе выполняется за счет частиц, «конденсированных» на основном уровне. Число последних, как мы неоднократно отмечали, сравнимо с полным числом частиц в системе, т. е. пропорционально объему системы.
В термодинамической технике формально фигурирует гриновская функция невзаимодействующих частиц, фурье-компонента которой равна
«"V) =
1
Іи> — ?0 (р) + [X '
Температура, при которой происходит бозе-конденсация системы, характеризуется тем, что у величины
1
fx — ^o (P)
впервые появляется полюс при значении импульса P = 0. При попытке продолжить это выражение на область [х > 0 мы имели бы дело с величиной, которая меняет знак, обращаясь в бесконечность при совершенно произвольных значениях р. В то же время, если [X < 0, то система невзаимодействующих частиц, как это видно из предыдущих рассуждений, находится выше температуры своей бозе-конденсации.
В действительности эти трудности носят фиктивный характер. Это обстоятельство связано с отсутствием для газа 320 система взаимодействующих бозе-частиц [гл. v
взаимодействующих бозе-частиц области применимости теории возмущений ниже температуры бозе-конденсации. Например, мы видели в § 25, что в области малых импульсов отдельные члены теории возмущений приводят к расходящимся выражениям. Для получения физического результата там потребовалось выполнить суммирование целого ряда главных членов теории возмущений. Во всех подобных случаях общие уравнения и соотношения между различными величинами Teof ии имеют более широкий смысл и применимы также за пределами применимости теории возмущений. Точные величины, такие, как гриновские функции, с учетом взаимодействия имеют разумные свойства и при температурах ниже точки бозе-конденсации.
Что касается химического потенциала, то он определяется из условия, чтобы среднее число частиц в системе было равно заданному. При наличии взаимодействия между частицами [X нигде тождественно не равно нулю и поэтому может быть с самого начала выбрано в качестве независимой переменной, значение которой для данной системы потом определяется из упомянутого условия постоянства числа частиц. Из общих соображений нельзя установить, каков будет знак химического потенциала взаимодействующих бозе-частиц ниже точки конденсации
Мы уже видели в § 23, что в формулировку теории возмущений при T= 0 входит точное число частиц конденсата; число частиц конденсата в идеальном газе, от которого приходится отправляться при выводе, в теории нигде не появляется. Такое же положение, как мы сейчас увидим, существует и при конечных температурах. Это обстоятельство является чрезвычайно существенным. В частности, оно позволяет уточнить, что же, собственно говоря, следует понимать под температурой бозе-конденсации системы взаимодействую-
•) В рассмотренной в § 25 модели ц, согласно (25.19), положительно (/ > 0; выбор / < 0 соответствовал бы притяжению между частицами; такая система в этом приближении была бы неустойчивой). У реального гелия при температурах ниже А-точки jj. < О, поскольку в противном случае гелий не мог бы при низких температурах находиться в равновесии со своим паром. Как известно, при равновесии необходимо равенство химических потенциалов обеих фаз. Пар гелия представляет собой разреженный больцма-новский газ, химический потенциал которого отрицателен. § 27] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ Тф 0 321
