Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
t
Є (Е (г, t)) = (E (г, 0) -4- / / (Г, t— t') (E(r, t'j) dt'. (28.4)
-QD
В фурье-компонентах действие оператора е сводится просто к умножению (E(r, to)) на диэлектрическую постоянную среды є (<и):
со
Є (Г, U))= 1 -I-J ем f (г, t)dt, (28.5)
о
а система уравнений (28.3) переходит в
rot (Н(г, (u)) = —j(us (г, (u) (Е (г, (и)),
rot (?(г, о>)) = j(u(tf(r, cd)). (28.6)
Можно показать (см. Ландау и Лифшиц [45]), что определенная при помощи (28.5) величина s(cd) является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной переменной (и, не имеющей в этой полуплоскости нулей.
') Под усреднением мы понимаем статистическое усреднение
< — і ' <?(r,9) = Sp\e г E(r,t)j. 328 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
Свойства электромагнитного излучения при конечных температурах определяются температурной гриновской функцией і) ^(T1, T1; г2, т2):
$ар(Г1. Г2< Х1 — Т2) =
f — Sp I eC-'hiT ейь-ъ)Ал (г,) е-" Ъ) Aft (г2)}
I при T1 > т2,
-- / »Ii .„о j\
( при T1 < т2.
Для того чтобы выразить через диэлектрическую постоянную среды є (to), мы воспользуемся установленной в гл. III связью между температурной гриновской функцией и запаздывающей функцией, определяемой в нашем случае как
D$(rv r2; tx—t2) =
[ -і Sp {tV-VtT[Aa(rv t{) Лр(г2, /2)-Лр(г2, t2)Aa(rv /,)]}' = ^ при tx > t2,
І 0 при tx < t2.
(28.8")
При этом, поскольку мы имеем в виду в дальнейшем применить полученные результаты к неоднородным телам, мы уже не будем считать © и D^ функциями разности пространственных координат. Соответственно этому мы будем также считать, что диэлектрическая постоянная различна в различных точках тела: s = s(r, (о).
Повторим все выкладки § 17, опустив лишь переход к фурье-компонентам по пространственным координатам.
') В формулу (28.7) вместо термодинамического потенциала Q входит свободная энергия F (ср. формулы (11.1), (11.2)). Такую замену можно произвести в связи с тем, что химический потенциал электромагнитного поля тождественно равен нулю. § 28] ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ в поглощ. СРЕДЕ 329
Тогда легко получить следующие представления леманов-ского типа для © и Dr:
со
с-,'*<¦>»>= (28-9>
— со
со t
D^irv г«О)= / 9^rJiя dx. (28.10)
— со
где
PapCl- ГЧ> Ш) =
F'En
= -(2*)3 2 в r (AM)am(AJr^)mJl-е-^Ь^-^).
п, т
Из (28.10) следует, что Dr (cd) является функцией tu, аналитической в верхней полуплоскости. Сравнивая (28.10) и (28.9), мы видим, что при <ол > 0
®.?Ci. fy. «„) = o5Ci. r2-, Шп). (28.11)
Для нахождения © при шп < 0 заметим, что ©(~) является ввиду вещественности операторов электромагнитного поля (At = AJ четной функцией т (см. § 11). Поэтому ее фурье-компонента © (шл) будет четной по <ол, откуда и следует соотношение, справедливое при всех (un J):
Cl. ^2; CD,,) = 0? Cr1, г2; і I cdn I). (28.12)
Перейдем теперь к вычислению запаздывающей функции. При этом существенным является вопрос о калибровке век-
D
тор-потенциала. Тензор Da? имеет всего десять независимых компонент (как всякий симметричный тензор второго ранга). В нашем распоряжении, однако, остается значительный произвол, связанный с калибровочной инвариантностью. Дей-ствительно, физический СМЫСЛ имеют не сами величины Da?, составленные из компонент вектор-потенциала, а лишь шесть величин, составленных из операторов Ei (г, і) по тем же
') Напомним, что, как и всякая гриновская функция бозевеких частиц, ® (ш„) имеет отличные от нуля компоненты только дія «четных» частот шл = 2лтг7". 330 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
правилам, по каким D^ составлена из Ла (г, і) (формула (28.8)). Таким образом, на десять величин наложено только
шесть физических условий, т. е. в нашем распоряжении имеются четыре произвольные функции. Этим произволом можно воспользоваться, чтобы обратить в нуль компоненты r /?
Dоо и Di о. Такой выбор соответствует, очевидно, калибровке с равным нулю скалярным потенциалом. В этом случае операторы Е, H связаны с А формулами
? = — , tf=rot А. (28.20
Чтобы выразить D% через є (со), поступим следующим образом. Представим себе, что наша система, состоящая из тела и равновесного электромагнитного излучения, помещена во внешнее поле, создаваемое сторонними токами jCT(r, t). Уравнения Максвелла для средних полей в этом случае примут вид
rot (Я (г, (u)) = 4 (г, (D)-Iios (г, (u) (Е (г, u))),
rot (Е (г, со)) = Iw (Н(г, (о)). (28'6 )
Усредненный потенциал (Лст(г, t)) в случае калибровки (28.2') будет удовлетворять уравнению
[є (г, 0))0?- xoiimro\ml] (A^r, (о)) = — (г, со). (28.13) Решение уравнения (28.13) имеет вид
{AT(г, <«>)) = — / Da 0г. г'; со) уГ (r', cu) dr', (28.14)
где D — так называемая гриновская функция уравнения (28.13). Она является решением уравнения
[s (г, со) co2Sj7 - rotte rot„J Dlk (г, г'; cu) = 4u8(.ft8 (г - г').
(28.15)
В силу аналитичности s (со) в верхней полуплоскости функция D также является аналитической в верхней полуплоскости.
С другой стороны, (Лст) в присутствии сторонних токов можно вычислить непосредственно из определения (28.1), § 28] ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ в поглощ. СРЕДЕ 331
