Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
щих частиц. Совершенно ясно, что эта температура, которую можно было бы назвать температурой Х-перехода, не обязана совпадать с температурой бозе-конденсации идеального газа. Физическим определением температуры Х-перехода является условие обращения в нуль плотности числа частиц в конденсате. Из общих соображений нельзя предсказать, в какую сторону сместится температура перехода при взаимодействии. Поэтому в принципе возможна как такая ситуация, что физический конденсат существует при температурах выше температуры конденсации идеального газа, так и наоборот, когда при более низких температурах включение взаимодействия приводит к исчезновению конденсата, существовавшего бы в идеальном бозе-газе.
Является уместным подчеркнуть здесь, что, по существу, в изложении § 23 в формулировке диаграммной техники при T = О нигде не использовался тот факт, что число частиц с импульсом, равным нулю, в идеальном газе равно бесконечности. Особенность изложенной там теории возмущений состоит в-том, что, поскольку частицы с импульсом нуль играют выделенную роль, мы' старались произвести вывод таким образом, чтобы операторы E0. Zo были учтены точно. Иными словами, в этом случае мы не делали обычных статистических предположений, что вклад от этих частиц относительно мал. Что же касается остальных частиц, то их мы рассматривали обычным образом.
Указанный подход оказывается возможным и при конечных температурах. При построении теории возмущений будем исходить из представлений функций Грина в виде
Знак усреднения (...) означает в этом представлении операцию взятия следа от усредняемого выражения по состояниям гамильтониана невзаимодействующих частиц H0— [хЛ7:
(7(?. ¦¦., *Г. •••¦ ®)>
(@)
V-N-H0 T
э 1
(...)
VN-H1
(27.1)
Sp е т
Поскольку полное число частиц не сохраняется в переменных [л, термодинамическое усреднение в (27.1) происходит 322 СИСТЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗЕ-ЧАСТИЦ [ГЛ. V
независимо для всех частиц, в том числе и для частиц с импульсом, равным нулю. Поэтому, совершенно так же как в § 23, операции T и (...) можно представить каждую в виде последовательности двух операций T= T0T' и (...) = .= ((...)')0, относящихся, соответственно, к частицам с импульсом нуль и к остальным частицам. Смысл такого разбиения тот же самый: частицы в состоянии с импульсом нуль играют особую роль, поэтому мы будем рассматривать их точно. Возможность разделения операций T и (...) на две играла существенную роль в наших рассуждениях при абсолютном нуле.
Повторяя почти дословно аргументацию, подводившую нас к формулам (23.14), найдем, что и в технике Мацубары для вычисления любой гриновской функции надконденсатных частиц необходимо знать все «точные» я-частичные гриновские функции частиц в состоянии с импульсом, равным нулю. Так же как и в (23.14), функции Грина частиц конденсата определяются соотношениями
где т — «временные» параметры техники для T Ф 0. Последнее выражение может быть написано в виде, аналогичном (23.16), т. е. через «гайзенберговские» операторы:
где «гайзенберговские» операторы I0 (с) и to" (t) удовлетворяют уравнениям
©o„(ti • . . *л; • • • *л)
(т (? (*,) ¦ ¦ • S0 (*„); ?0+ К) ¦ • • ^o+ «) з)>
@0я(т1 ¦ ¦ ¦ ^n, Ч ¦ ¦ ¦ ч) =
(27.2)
= IH-V-N. I0 (т)], -J^o+ W = [я Io+(T)] § 27] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ Тф 0 323
и связаны с обычными шредингеровскими операторами соотношениями
I0(X) = Є(Я-^0<Г(Я-,ЛО Xi |о+ (т) = ^
Гриновские функции © есть, таким образом, гиббсовские средние от хронологического произведения операторов Io, Io • Напомним в этой связи, что в квантовой статистике усреднение величин может производиться двумя эквивалентными способами: с одной стороны, усреднение может рассматриваться как квантовомеханическое усреднение по действительному состоянию, в котором находится система. Это состояние характеризуется значениями энергии и числа частиц. С другой стороны, усреднение может производиться с помощью распределения Гиббса, при котором система рассматривается как незамкнутая; это позволяет ей с определенной вероятностью при заданной температуре находиться в различных квантово-механических состояниях с различными значениями энергии и числа частиц. Эквивалентность двух способов усреднсн :я основана на том, что распределение Гиббса имеет чрезвычайно узкий максимум около средних значений энергии и числа частиц, так что, например, относительная флуктуация
энергии V (Е— EyjEooljVN и стремится к нулю, когда размеры системы стремятся к бесконечности. Энергия состояния и число частиц в замкнутой системе при квантово-механическом усреднении, очевидно, совпадают с соответствующими средними значениями в распределении Гиббса. С термодинамической точки зрения различие в двух способах усреднения сводится только к тому, что в первом случае значение усредняемой величины выражается через энергию как термодинамическую переменную, тогда как при усреднении по Гиббсу то же самое значение будет выражено в зависимости от температуры. Тот же смысл в статистике имеет и введение химического потенциала. С учетом сказанного будем рассматривать (27.2) как среднее по квантовомеханическому состоянию системы:
