Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Инвариантность гамильтониана и вырождение уровней энергии
Мы не будем приводить здесь общеизвестное определение группы. Рассмотрим систему, характеризуемую набором динамических переменных Xu ..., хп, и предположим, что ее гамильтониан Ж не меняется при любом преобразовании 31 из группы fS1 сопоставляющем точке х= (Х\, ..., хп) пространства переменных точку х' = = (Xfv . . ., JlfM. Пусть W(X) — некоторая функция переменных (хи хп), a Y7(X) определена как функция, принимающая в точке х'= 5?х значение, совпадающее со значением Ч^х) в точке х, т. е.
Wf (х) = RW = W (12.1)
Смысл использованной здесь символической записи Wf = RW разъясняется самим соотношением (12.1). Преобразование R является линейным оператором, действующим на функцию W1 и нетрудно убедиться в том, что операторы R образуют группу G1 изоморфную Мы увидим позднее, что соответствие между группами G и ? оказывается более сложным при учете спина гл. 12. основные положения теории групп
27
электрона. Поскольку гамильтониан Ж инвариантен относительно группы G1 то для всех функций W выполняется равенство R(ZfixV) = SIS(RyV). Следовательно, гамильтониан Ж коммутирует со всеми операторами G. Отсюда вытекает следующее фундаментальное положение: если не все операторы R группы коммутируют друг с другом (т. е. группа не абелева), то система обязательно обладает вырожденными уровнями энергии. Это утверждение доказывается следующим образом.
Пусть R и S — два некоммутирующих оператора группы G1 a xV — собственная функция гамильтониана Ж, относящаяся к собственному значению W. Тогда имеют место равенства
Ж (RW) = RWV = RWW = W (RW)1 Ж (SW) = SЖW = SlFxF = W (.SW);
отсюда очевидно, что RW и SW являются собственными функциями оператора Ж, относящимися к тому же собственному значению W. Если все уровни энергии системы не вырождены, то функции W1 RW и StF описывают одно и то же состояние и могут отличаться лишь постоянными фазовыми множителями. Но тогда равенство [R1 S]W == 0 выполняется для всех собственных функций системы, и поскольку эти функции образуют полный набор, то [R1 S] = 0, что противоречит исходному допущению.
§ 2. Линейные представления групп, эквивалентные и неприводимые представления
Пусть функции Wu W2, Yp образуют полную систему ортогональных и нормированных собственных функций гамильтониана, относящихся к некоторому р-кратно вырожденному уровню энергии.
Тогда любая функция Фг = RWi которая, как мы видели, описывает стационарное состояние с той же энергией W1 должна быть линейной комбинацией функций Wk. Запишем эту комбинацию в виде
RyPt = ZxPkDhi(R). (12.2)
к
Линейные операторы <?) (R)1 которым соответствуют матрицы Dki(R)у образуют то, что обычно называют линейным представлением группы G. Мы сделаем краткий обзор тех свойств лилейных представлений, которые важны для понимания поведения парамагнитных ионов в кристаллах. Нас интересуют некоторые конечные группы (группы, содержащие конечное число 28
часть iii. теоретический обзор
элементов) и одна бесконечная группа — группа пространственных вращений.
Линейное р-мерное представление группы G ставит в соответствие каждому элементу R группы матрицу D(R) с отличным от нуля определителем, которая преобразует любой вектор X р-мерного пространства S в вектор Y = D(R)X того же пространства согласно формуле
Yi = IiXiDll(R), (12.3)
причем выполняется условие изоморфизма
D(R1R2) = D(R1)D(R2). (12.4)
Если перейти в пространстве к другой системе координат, так что X = SXf и Y = SY7, то вместо соотношения Y = D(R)X получим
Yf = DfXf = S'] DSXf. (12.5)
Два представления 0f и связанные преобразованием подобия (12.5), называются эквивалентными. Можно показать (мы примем это утверждение без доказательства), что для каждого линейного представления любой конечной группы или группы вращений имеется эквивалентное унитарное представление, т. е. представление, осуществляемое унитарными матрицами. В дальнейшем мы будем рассматривать только унитарные представления.
Унитарное представление ZD размерности р называют приводимым, если все матрицы D представления с помощью преобразования подобия могут быть приведены к квазидиагональному виду
где D1 и D2 — субматрицы, размерности которых соответственно равны pi и р2, причем ри-\-р2 = р. Геометрический смысл приводимости представления Ф заключается в том, что в пространстве представления S имеются два инвариантных ортогональных подпространства <§\ (рі-мерное) и <S2 (/?2-мерное), так что каждый вектор подпространства. (!T1 преобразуется оператором D(R) в вектор этого же подпространства, и то же самое имеет место для подпространства S2- Представление, которое не может быть приведено к виду (12.6) преобразованием подобия, называется неприводимым. Если матрицы Di и (или) D2 приводимы, процесс приведения может быть продолжен до тех пор, гл. 12. основные положения теории групп
29
пока все матрицы D не запишутся в виде
D1
D2
где все субматрицы Du D2, ..., Dq неприводимы.
§ 3. Соотношения ортогональности, характеры представлений и классы группы
