Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем будут использованы следующие теоремы, большинство которых мы просто сформулируем.
а) Матрица Mf коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, кратна единичной матрице.
б) Для двух неэквивалентных неприводимых представлений 2){ и к)2 конечной группы G имеют место следующие соотношения ортогональности:
2 Dit ik (S) D2t ц (S) = 0, ' (12.7)
s
где суммирование проводится по всем элементам S группы, а индексы /, /, k, / принимают любые возможные значения.
Одним из неприводимых представлений любой группы является единичное представление, в котором каждому элементу группы соответствует умножение на число 1. Поэтому можно в качестве SD2 в равенстве (12.7) взять единичное представление и получить соотношение
S Dliift (S) = O. (12.8)
s
в) Для каждого неприводимого представления ZD размерности р имеет место соотношение
2 Dik (S)Db (S) = f б, Al, (12.9)
s
где т — число элементов группы, называемое также порядком группы. Для группы вращений, являющейся бесконечной группой, соотношения ортогональности (12.7) и (12.9) остаются справедливыми, если заменить сумму по элементам группы подходящим интегралом. Можно показать, что при определении вращений R с помощью трех углов Эйлера а, ? и у соотношение зо
часть iii. теоретический обзор
(12.9) переписывается в виде
2я 2я я
j da \ dy J Dh (a, ?, Y)o//(a, ?, Y) sin ? rf? = 6,/6« . (12.10)
г) Следы матриц линейного представления называются характерами и обозначаются символом %. Поскольку след матрицы не меняется при преобразовании подобия типа (12.5), два эквивалентных представления обладают одинаковыми наборами характеров. Исходя из равенств (12.7) и (12.9), мы сразу получаем соотношения
Ux1(S)^(S)-Of \
І. (12.11) 2 X1 (S) х; (S) = т.
S
Понятие характера тесно связано с понятием класса Говорят, что два элемента А и В группы относятся к одному и тому же классу, если в группе содержится такой элемент С, что выполняется равенство
B = CAC"1. (12.12)
Например, два вращения Л и ІЗ на один и тот же угол, но вокруг разных осей Xh У, относятся к одному классу при условии, что элемент С в выражении (12.12) является поворотом, преобразующим ось X в ось У. Из определения (12.12) вытекает, что единичный элемент группы сам по себе составляет класс. Из этого же определения следует, что все матрицы линейного представления, относящиеся к одному и тому же классу, обладают одинаковым характером.
Если в группе содержится г различных классов CW и в классе CW содержится gh элементов, то соотношения (12.11) можно переписать в виде
S Xf1Vft = Of
V (12.13)
2 X\k)%[k)*gk = т.
k=\
д) В квантовой механике вообще и в теории парамагнитного резонанса в частности чрезвычайно важную роль играет проблема нахождения всех неприводимых представлений группы G. Пусть • • •, являются неэквивалентными неприводимыми представлениями конечной группы G, состоящей из г классов. Убедимся в том, что число I конечно. В г-мерном пространстве S рассмотрим / векторов Хь X2, X/, причем гл. 12. основные положения теории групп
31
компонентами вектора X^ являются г чисел
tf'/?.
где k = 1, 2, *.., г. Из соотношения (12.13) вытекает, что эти векторы ортогональны и потому линейно независимы. Число их не может превышать числа измерений пространства г, т. е. / ^ г. Можно показать также (мы примем это без доказательства),что /^r и, таким образом, I = г; иными словами, число неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы равно числу классов этой группы.
Обозначим через /1, I2, ..., Ir размерности г неприводимых представлений
SDu SD29 ..., SDr.
Рассмотрим одно из этих представлений SDp и т матричных элементов DptIj(S)i соответствующих т элементам S группы. Эти т чисел можно считать компонентами вектора ХрЛ/ некоторого m-мерного пространства <8. Из формулы (12.7) видно, что все такие векторы ортогональны и, следовательно, общее число их /1 + /2+ ... +/? не может быть больше размерности т пространства <g\ совпадающей с порядком группы.
Опять можно показать, что имеет место равенство
ІІ+ Il+ ... + I2r = Jn9 (12.14)
которое мы также примем без доказательства.
§ 4. Разложение представления и вычисление характеров неприводимых представлений
Предположим, что нам известны характеры всех неприводимых представлений группы G, и пусть SD — некоторое приводимое представление. Мы хотим найти числа аи а2, ..., ar, указывающие, сколько раз каждое неприводимое представление SDi содержится в 3). Пусть %(S)—характер преобразования S в представлении 2D, a Xi(S), Xr(S)—характеры этого же преобразования в неприводимых представлениях SDi. Из самих определений приводимости и характеров следует, что
X(S)=S ад, (S). (12.15)
P= 1
Умножая обе части равенства (12.15) на X^(S), где индекс q равен одному из чисел 1, 2, ..., г, и суммируя затем по всем элементам S группы, получим с использованием соотношения 32 часть iii. теоретический обзор
(12.11) следующее выражение:
т
o«=45>sK<s)> <12Л6)
