Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку оператор Jz коммутирует с J2, эти состояния можно выбрать так, чтобы величина Jz имела для них определенное значение Jz = т\ при этом оказывается, что т может принимать значения т = /, /— 1, ..., —/. Если взять в качестве базиса собственные функции "vF7tw = I/, т) операторов J2 и JZy то фазы этих функций можно подобрать таким образом, что
</, m\J±\u m+l) = {/(/ + l)-m(m=Pl)}* (13.2а) где J± = Jx ± iJy и, кроме того,
</, m\Jz \ /, пі) —т. (13.26)
Соотношения коммутации являются следствием того, что при бесконечно малом повороте на угол є вокруг, скажем, оси Ozt волновая функция xV преобразуется в функцию
ф = (1 (13.3)
В самом деле, хотя определение (13.1) оператора J является более привычным, логичнее было бы вывести его как следствие соотношения (13.3). Из этого соотношения вытекает, что поворот на конечный угол ф вокруг оси, направленной вдоль единичного вектора п, преобразует функцию xV в функцию
Ф = е-І<9( n.J)ljre (13e4) 44
часть iii. теоретический обзор
Поскольку оператор J2 коммутирует с тремя компонентами вектора J, он коммутирует также со всеми операторами поворотов R = ехр {—/<p(n-J)}. Отсюда вытекает, что функция RxVjitny как и функция xVhm, является собственной для оператора J2, и поскольку мы имеем (2/ + 1) линейно независимых функций xVj, т> ТО
R1Pftm= 2 Dln'miRWl.mr. (13.5)
Все 2/+1 функций xVjtfni индекс т которых принимает значения /, /—1, ..., —/, осуществляют представление группы вращений размерности 2/+ 1, которое обозначается SDK Можно показать, что эти представления неприводимы и что других неприводимых представлений группы вращений не существует. Часто оказывается удобным различать вращения с помощью известных углов Эйлера, которые уже упоминались в § 3 гл. 12.
С помощью наглядных геометрических соображений можно показать (см., например, [5]), что вращению, определенному углами Эйлера, соответствует оператор
R (а, ?, у) = e-M'e-Wye-™*. (13.6)
§ 2. Неприводимые представления группы вращений
Рассмотрим подробнее случай, когда / = 1I2 и выражение (13.6) можно переписать в виде
R (а, ?, у) = е-1ШаЧ-1ШаУе-*"т\ (13.7)
где Ox, cfy, Oz — известные матрицы Паули. Нетрудно показать, что матрица оператора (13.7), получаемая при помощи функций Yjj7n, где ^= iI2i т — ± V2, имеет вид
/ e-U(a+Y)/2]C0Sl _ e-*[<a-Y)/21 sjn ?.N
DV2(*> ?, Y)= ? ? J. (13.8)
У ei [<a-Y)/2] sJn P. ei [(a+Y)/2] cos JL
Это выражение сразу вытекает из равенства (13.7), если принять во внимание, что
e~i (?/2) Oy _ cos _? __ sjn ^ (ад
Мы видим, что матрица (13.8) унитарна (как и должно быть, поскольку она соответствует унитарному оператору) и определитель матрицы равен единице. И наоборот, можно показать, гл. 13. группа вращений
45
что всякая унитарная матрица Ui определитель которой равен единице, может быть представлена в виде (13.8). Такая матрица, кроме того, часто записывается как
I*)' аа* + ЬЬ*=1, (13.10)
откуда явно видны ее свойства; можно переписать (13.10) следующим образом:
I а7 + i?7 Y7 + io7 [ - Y7 + й7 а7 - *?7 причем а/2 + ?/2 + y/2 + o/2 = 1, или в операторной форме
а7 + Ф7<т* + й7 о X + iy'Oy. (13.12)
Унитарные матрицы и, определители которых равны единице, очевидно, образуют группу Ui называемую унитарной уни-модулярной группой. Таким образом, мы можем сказать, что группы U и совпадают. Соответствие между этой группой и группой пространственных вращений устанавливается следующим образом: каждую эрмитову матрицу h второго порядка со следом, равным нулю, можно записать в виде
/ Z x — iy\ h = v .а = х0х + у0у + 20г = ух+ J9 (13.13)
где коэффициенты Xi у, Z вещественны; определитель этой матрицы равен —(х2 + у2 + г2)- Рассмотрим матрицу
h' = uhu+, (13.14)
где и — унитарная унимодулярная матрица. Матрица Wi очевидно, эрмитова, и след ее равен нулю. Поэтому ее можно записать в виде
W = х'ах + у'о у + ZfOz = г7 • а,
где х\ у'', Zr — вещественные коэффициенты; согласно соотношению (13.14), они являются линейными функциями OT Xi у, Zi причем коэффициенты в этих функциях обязательно вещественные и каким-то образом (нам не обязательно уточнять, каким именно) зависят от элементов матрицы и. Определитель матрицы A7, -—(я7 +у7 + г7), равен определителю матрицы hy — (х2 + У2 + г2)- Отсюда ясно, что величины Xri у7, Zr и Xi IJi Z связаны между собой благодаря соотношению (13.14) (r' = = Rur) при помощи действительной ортогональной матрицы. Нетрудно проверить прямым вычислением, что определитель этой матрицы равен +1, и поэтому она описывает пространственный поворот.
(13.11) 46
часть iii. теоретический обзор
Исходя из соотношений
h = г • a, W = uhu+ = Tf а, г' = RuT9
получаем
h" = VhfV+ = (Vuhu+V+) = г" - а
или
т" = R0Tf = RvRuT9
откуда следует, что если матрице и соответствует вращение Rut а матрице v — вращение Rvt то произведению uv соответствует вращение RuRv С другой стороны, соответствие между матрицей и и вращением Ru не является взаимно однозначным, поскольку из соотношения (13.14), определяющего матрицу Ru, явствует, что при замене матрицы и на —и матрица h не меняется, а потому не меняется и матрица Ru- Таким образом, каждому повороту Ru отвечают две матрицы, и и —и. В частности, единичному элементу группы вращений соответствуют две матрицы (1I) и ("^-i). Поэтому, строго говоря, не является представлением группы пространственных вращений; его относят к двузначным представлениям. Очень ясно это проявляется в формуле (13.8), поскольку, скажем, добавление 2я к углу а, возвращающее систему (или оси координат) в исходное положение, заменяет матрицу D4i на — Dv*. Изменение знака волновой функции в результате вращения на угол 2я нельзя считать парадоксом. Значение волновой функции xV не является физически наблюдаемой величиной в противоположность, например, величине I1Fl2, которая является наблюдаемой и на самом деле не меняется при повороте на угол 2я. Такая же двузначность присуща всем представлениям Di при /, равном половине нечетного целого числа (для краткости мы будем называть такие числа полуцелыми). Легче всего можно убедиться в этом путем рассмотрения вращений вокруг оси z, когда оператор поворота может быть представлен в виде ехр(—i'<pJz). Под действием этого оператора волновая функция |/, т) умножается на величину ехр(—щт), которая равна —1 при ф = 2я и полуцелом /.
