Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
В предыдущих рассуждениях мы пользовались теорией возмущений в первом приближении, и поэтому возникает вопрос: а не могут ли вычисления в более высоких приближениях привести к дальнейшему снятию вырождения. Ответ: нет, не могут. Рассмотрим полный гамильтониан Ж(е) = + гV, и пусть W0 — р-кратно вырожденное собственное значение оператора
0) = к которому относятся р собственных функций осуществляющих неприводимое представление 2D группы симметрии G гамильтониана Предположим, что возмущение V также инвариантно относительно преобразований группы G. Тогда, как мы видели, из теории возмущений в первом приближении следует, что уровень W0 не расщепляется. Покажем, что это утверждение справедливо в любом приближении. Допустим, что уровень Wq расщепляется на два подуровня W1 и W2f к первому из которых относятся pi линейно независимых собственных функций фj, а ко второму — р2 функций Xk. Функции ф; осуществляют представление 2D' группы G, которое может быть приводимым или неприводимым, но не может ни содержать в себе представление 2D, ни совпадать с ним (поскольку р\ </?), ни содержаться в нем (поскольку представление 2D неприводимо). Из соотношений ортогональности вытекает, что функции xFi ортогональны всем функциям ф; и Xk- Поскольку совокупность линейных комбинаций функций (cpj, %ь) ортогональна совокупности функций xVi, она не может непрерывным образом перейти 38
часть iii. теоретический обзор
в последнюю при є —> 0, так что уровни Wx и W2l если они существуют, не являются результатом расщепления уровня W0.
Это возвращает нас к допущению, сделанному в начале на-, стоящего параграфа, о том, что представление SD0 группы симметрии G0 гамильтониана Ж0і которое может осуществляться собственными функциями, относящимися к уровню W0y является неприводимым. Если бы оно могло быть разложено, скажем, на два представления SDo и SDo, то возмущение, обладающее той же симметрией, что и гамильтониан Жо, могло бы расщепить уровень W0 на два уровня W0 и Wo. Вырождение такого типа называется случайным, и в дальнейшем мы будем пренебрегать возможностью такого вырождения.
§ 6. Прямое произведение двух представлений
Рассмотрим две динамические системы Si и S2 и сначала предположим, что они не взаимодействуют между собой, а потому их гамильтонианы Жі и Ж2 коммутируют друг с другом, и каждый из них инвариантен относительно преобразований одной и той же группы G. Примерами такой системы служат два электрона, движущихся в одинаковом центральном поле атома, или два ядерных спина во внешнем магнитном поле.
Пусть W1—уровень энергии первой системы, к которому ОТНОСЯТСЯ Pi линейно-независимых функций фг, a W2 — уровень энергии второй системы, K которому ОТНОСЯТСЯ P2 функций Xi-Функции ф и % осуществляют два представления SDx и SD2, причем каждое из них, если отбросить возможность случайного вырождения, является неприводимым. Очевидно, что произведения функций фг Xj также осуществляют представление группы G, которое мы обозначим через SDi X ^D2 и будем называть прямым произведением двух представлений SiDi и SD2. Матричные элементы этого представления определяются соотношениями
R (фiXi) = 2 VkXiDu ki (R) D2t l} (R)i
ki
(DiXD2)kuj = DltkiD2ilj. (I2-34)
Кратность вырождения уровня W = Wx + сложной системы Si + S2 равна максимум рхр2. (Она может быть и меньше вследствие ограничений, накладываемых принципом Паули.) Если ввести взаимодействие Ж12 между этими двумя системами, инвариантное относительно той же группы преобразований G, то вырождение уровня W может быть частично снято, поскольку представление 2Di X вообще говоря, не является неприводимым представлением группы G. Разложение этого представ- гл. 12. основные положения теории групп
39
ления можно выполнить с помощью соотношений (12.15) и (12.16), поскольку характер матрицы
(DlXD2)ihkl = DuikD2fjh
очевидно, равен
X(D1XD2) = X(D1)X(D2). (12.35)
Проблема приведения прямого произведения представлений тесно связана с вычислением матричных элементов от различных физических операторов. Частным случаем является установление правил отбора, соответствующих обращению в нуль некоторых матричных элементов.
Рассмотрим сначала функцию xPa(г), относящуюся к неединичному неприводимому представлению SD группы G. Можно
убедиться в том, что J xIra (г) dx = 0. В самом деле, используя
те же соображения, что привели к соотношению (12.28), и равенство (12.8), получаем
J Ve (г) = RWa(r)dx =
R
= І S S zV (R) (J ^? w = (12-36)
R ?
Теперь рассмотрим матричный элемент типа
OFaI |ФУ) = j Vl (r)F? (r) Ov (r) dx, (12.37)
где xFa, V$ и Oy преобразуются в соответствии с неприводимыми представлениями SD, SDf', SDrr некоторой группы. Произведение VaVрФу преобразуется в соответствии с представлением 25* X X которое в общем случае является приводимым представлением группы G, и матричный элемент (12.37) будет отличен от нуля, только если это представление хотя бы один раз содержит единичное представление.
Практически все представления групп, с которыми мы будем иметь дело, обладают вещественными характерам« и' потому эквивалентны соответствующим комплексно сопряженным представлениям; если это верно для представления ЗУ, то прямое произведение 3)*Х&>'ХЗ)" можно заменить на ЗУХ®'Х®" -Покажем, что если все три представления SD, SD', SDn имеют вещественные характеры, то условие наличия единичного представления в произведении ЗУ X ЗУ X SD" равносильно требованию, чтобы представление ЗУ' содержалось в произведении SD X ЗУ. Доказывается это следующим образом. Кратность пи с которой единичное представление содержится в прямом произведении ЗЬаХЗУъ двух неприводимых представлений SDa и SDb, 40
