Электронный парамагнитный резонанс. Переходных ионов. Том 2 - Абрагам А.
Скачать (прямая ссылка):
Часть hi. теоретический оёзоР
равна единице, если эти представления эквивалентны, и нулю в противном случае, поскольку, как вытекает из соотношений (12.16) и (12.35),
= -к S ^e:{R) =і S {R) ^ {R) = 6^ <12-38)
r r
Поэтому произведение (2D X ЗУ) X 2D" содержит единичное представление в том и только в том случае, если (2D X ЗУ) содержит представление 2D".
Допустим теперь, что функции Vct и Фу в выражении (12.37) относятся к одному и тому же представлению 2D = 2D". Нетрудно убедиться в том, что след
T3=SeifJFl5I^a)
обращается в нуль, если только не преобразуется по единичному представлению. Мы можем записать величину в виде
= S D«a{R)Da»a (R) Dfo(R)(Wa' HV I^V)- (12.39)
R, a, a', a".
Поскольку матрицы D унитарны, TO 2 ^a'a (R) Da»a (#)=6a'a" -
a
и выражение (12.39) можно переписать следующим образом:
Rt ?'
правая часть этого равенства обращается в нуль согласно формуле (12.8), если только не относится к единичному представлению. Обозначим через 6W7?, бWp изменения энергии вырожденных состояний, которые описываются набором функций Va, относящихся к представлению 2D, под действием возмущения Вследствие инвариантности следа мы приходим к равенству
2 6Г? = Tp = 0, (12.406)
і
которое означает, что среднее значение энергии не меняется под действием возмущения, снимающего вырождение.
Если в прямом произведении (12.34) оба представления 2D\ и 3)2 размерности р совпадают (2DX=2D2=2D), то набор функций, осуществляющих приводимое представление (2D)2 = 2D X 2D, можно разбить на две части — симметричную, содержащую lhp(p+ 1) функций 1MqteX* +ФОС*}» и антисимметричную, содер- гл. 12. основные положения теории групп 41
жащую ХІ2Р{Р — 1) функций 1І2{щ%1 — (Qttk)' Очевидно, в процессе приведения представления (SD)2 = SD X 3) эти два набора функций не перемешиваются и в разложении
[SDf = SDa + SDb+ ... +?+ ... +^г, (12.41)
где через SDi обозначены неприводимые представления, каждое слагаемое принадлежит либо симметричной, либо антисимметричной части представления (SD)2.
Нетрудно установить следующие соотношения для характеров симметричной и антисимметричной частей квадрата представления 3):
г3" (R) = S Dii (R) Du (R) = {X® (R)}2, (12.42)
і, І
Xf (R) = T S {°и (R) Da (R) + dU (Я) Ш =
І, і
і Vi (12-43>
xf (X) = T S(R) (R) - D'i (R) D" (R)} = i. !
=Jix3(R)T-j {%mm.
В этих соотношениях R означает любое преобразование группы G, а индексы S и Л использованы для обозначения симметричной и антисимметричной частей представления SD2.
ЛИТЕРАТУРА
1.* М. Хамермеш, Теория групп, изд-во «Мир», 1966, стр. 135. ГЛАВА 13
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ
Немногие разделы современной физики могут сравниться с теорией представлений группы пространственных вращений по степени изученности и широте применений, и читатель, вероятно, уже хорошо знаком с этим предметом. Две поистине великолепные книги, «Теория групп» Вигнера [1] и «Неприводимые тензорные операторы» Фано и Рака [2], содержат всю информацию по данному вопросу, которая могла бы нам понадобиться. Ряд прекрасных книг, из которых мы назовем здесь лишь «Квантовую механику» Мессиа [3] и из более специальных «Теорию групп» Тинкхема [4] и «Угловой момент в квантовой механике» Эдмондса [5], также дают ясное и полное представление о предмете. Важная роль группы пространственных вращений для исследования парамагнитного резонанса обусловлена тем, что хотя парамагнитный ион, внедренный в вещество, не обладает полной вращательной симметрией, исходным пунктом при его изучении служит свободный ион. Волновые функции свободного иона преобразуются в соответствии с представлениями группы вращений, что существенно упрощает вычисление матричных элементов между двумя такими функциями. Единственная цель приводимого ниже изложения состоит в том, чтобы напомнить читателю те свойства, которые непосредственно требуются для вычисления волновых функций нижних уровней энергии парамагнитных ионов в их естественных условиях. Намного более сложные теории, основанные главным образом на работах Рака и его школы, используются в атомной спектроскопии (см., например, книгу Джадда [6]), но к нашей задаче они не имеют непосредственного отношения. гл. 13. группа вращений 43
§ 1. Угловой момент
Рассмотрим систему электронов, гамильтониан которой Ж = П, Si) может содержать члены, зависящие от спи-
нов Si отдельных электронов. Известно, что полный угловой момент системы J является эрмитовым оператором, определенным следующим образом:
AJ = ftL + ftS = 2(Al, + fts?) = 2r,Xpf + A2s?. (13.1)
і і і
Если система находится в состоянии, описываемом волновой
функцией Ч^Гг, СГг), ГДЄ Oi — СПИНОВЬІЄ ПЄрЄМЄННЬІЄ, ТО ОПрЄДЄЛЄ-
ние (13.1) позволяет найти результат действия на функцию W любой из компонент Jxi Jyi Jz оператора J. Известно также, что компоненты оператора J подчиняются соотношениям коммутации типа [/*, Jy] = Uz.
Из этих соотношений вытекает, что оператор J2=J2x + J2y + J22 коммутирует со всеми компонентами вектора J, а собственные значения его могут быть записаны в виде /(/+ 1), где /— целое или полуцелое число. Для краткости мы будем называть число / собственным значением оператора J, хотя это и не вполне точно. Для каждого значения / имеется (2/+1) независимых состояний, в которых J2 = /(/ +1).
