Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 16. Делимость. Простые идеалы
Пусть b — некоторый идеал (или, более общо, модуль) в кольце 0. Если а —элемент из 6, то можно записать, что а = 0(Ь); в этом случае говорят, что а делится на идеал Ь. Если все элементы некоторого идеала (или модуля) а делятся на Ь, то (следуя Деде-кинду) говорят, что а делится на Ь. Это означает не что иное, как то, что идеал а является подмножеством идеала Ь. Обозначение:
а = О (Ь).
Идеал а называют кратным или, как теперь часто говорят, под-идеалом идеала К Точно так же b называется делителем или над-идеалом идеала а. Если, кроме того, а=т^Ь, то b называют собственным делителем идеала a, a а — собственным кратным идеала Ь.
В случае главных идеалов коммутативного кольца с единицей сравнение (а) = 0((6)) означает не что иное, как равенство а = rb, и понятие делимости в смысле теории идеалов переходит в обычное понятие делимости элементов.
Начиная с этого места, все рассматриваемые кольца будут считаться коммутативными.
Под простым идеалом кольца о подразумевается такой идеал р, кольцо классов вычетов которого о/p является целостным, т. е. не содержит делителей нуля,
70
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
fГЛ III
Если по-прежнему классы вычетов обозначать надстрочной чертой, то для простого идеала р сказанное означает:
из <25 = 0 и афО должно следовать 5 = 0.
Или, что то же самое, из
а5 == 0 (р), аф0(р)
должно следовать
для произвольных а и 5 из о. Словами: произведение двух элементов должно делиться на идеал р только тогда, когда на р делится один из сомножителей.
Очевидно, что единичный идеал всегда простой, потому что предположение аф 0 (о) вообще не может быть выполнено. Нулевой идеал является простым тогда и только тогда, когда кольцо о — целостное.
Другими примерами простых идеалов могут служить главные идеалы кольца целых чисел Z, порожденные простыми числами, о чем будет сказано ниже.
Идеал кольца о называется максимальным или не имеющим делителей, если он не содержится ни в каком другом идеале из о, кроме самого с; другими словами, — если у него нет других собственных делителей, кроме единичного идеала о. Так, например, названные выше простые главные идеалы (р) в Z максимальны.
Каждый отличный от о максимальный идеал р в кольце с единицей является простым и кольцо классов вычетов с/р является полем. Наоборот, если о/р — поле, то р — максимальный идеал.
Доказательство. Требуется решить в кольце классов вычетов уравнение .га = 5 при афО. Пусть а^0(р) и 5 произвольно. Идеал р и элемент а вместе порождают некоторый идеал, который является делителем идеала р и притом собственным делителем, потому что он содержит а. Следовательно, этот идеал равен о. Поэтому произвольный элемент 5 кольца о можно представить в виде
Ь = рфга (р е р, гее).
С помощью гомоморфизма из о в кольцо классов вычетов получается равенство
5 = га,
чем и решается уравнение Хй — Ь.
Таким образом, кольцо классов вычетов является полем. Так как в поле нет делителей нуля, идеал р является простым.
Наоборот,если о/р — поле и я — собственный делитель идеала р, а а —элемент из а, не принадлежащий р, то сравнение
о* = 5(р)
ЕВКЛИДОВЫ КОЛЬЦА И КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
71
разрешимо при любом о. Следовательно,
ах = Ь (а),
О (а),
и, так как Ь —- произвольный элемент изо, имеем а = о.
Однако, не каждый простой идеал является максимальным; это показывает уже пример нулевого идеала в кольце целых чисел. Другим, менее тривиальным примером может служить идеал (х) в кольце целочисленных многочленов 2 [х]\ он имеет в качестве собственного делителя идеал (2, х). Как легко видеть, оба идеала (л:) и (2, х) простые.
Задача 1. Провести доказательство последнего утверждения.
Задача 2. Рассмотреть кольца классов вычетов идеалов (2) и (3) в кольце целых чисел и показать, что эти идеалы просты.
НОД и НОК. Идеал (а, Ь), порожденный двумя заданными идеалами а и Ь, будет называться наибольшим общим делителем (НОД) этих идеалов; такое название оправдывается тем, что (а,Ь) действительно делит а и Ь и при этом делится на любой общий делитель а и К Иногда (а, Ь) называют еще суммой идеалов а и Ь, потому что он состоит из всевозможных сумм а + Ь, где аеи, йеК
Точно так же пересечение двух идеалов а П Ь называют наименьшим общим кратным (НОК) идеалов а, (\ потому что а П Ь действительно является кратным этих идеалов и делит любое их общее кратное.
§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов
Теорема. В кольце 2 целых чисел каждый идеал является главным.
Доказательство. Пусть а — произвольный идеал в 2. Если а=(0), то доказывать нечего. Если же в а есть еще элемент с Ф 0, то а содержит и элемент —с, а один из этих элементов является положительным числом. Пусть а —наименьшее положительное число в идеале а.
Если Ь — произвольное число в идеале и г —остаток от деления числа Ь на число а, то
Ь = ца-\-г, 0 ^ г < а.
Так как Ь и а принадлежат идеалу, число Ь — ца — г тоже принадлежит этому идеалу. Так как г<_а, то обязательно г = О, потому что а — наименьшее положительное число идеала. Следовательно, Ь = ца, т. е. все числа идеала а являются кратными числа а. Отсюда следует, что а = (а); следовательно, а —главный идеал.
