Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, если кольцо 34 является кольцом целых чисел, то говорят о целочисленных многочленах.
Замена переменных на произвольные элементы кольца. Если
/ (х) = 2 av*v — многочлен над 34 и а —элемент кольца (самого кольца 34 или кольца, содержащего 34), перестановочный со всеми элементами из 34, то в выражение для f (х) всюду вместо х можно подставить элемент а и получить таким способом значение f (a) = == Eavav. Если g (х) — любой другой многочлен и g (a) — его зна-
чение при х = а, то сумма и произведение
f(x) + g(x) = s(x), f(x)-g(x) = p(x) при x = a имеют значения
f(<*)+g(a) = s(a), f(a)-g(a) = p(a).
Для суммы это очевидно. Для произведения вычисления проводятся по формуле (2):
Р («) = Е cvav = 2 Е аЛ«У = Е Е =
v X + |x=v X ц
= (Е a>-ak) (Е KaV) =/Иёг(а).
Тем самым доказано: все соотношения между многочленами
f(х), ..., g(x), .... получающиеся при сложении и умножении,
Кольца многочленов
63
остаются в силе при замене переменной х на произвольный элемент кольца Ш, перестановочный со всеми элементами из Ш.
Соответствующая теорема справедлива и для многочленов от нескольких переменных. В частности, если кольцо 3ft коммутативно, то в многочлен /(хъ ..., хп) можно подставлять вместо переменных произвольные элементы из 91 (или из коммутативного расширения кольца 5ft). Благодаря этому многочлены называют также целыми рациональными функциями от переменных Х\, .... х„.
Для целочисленных многочленов без постоянного члена возможность подстановки элементов кольца дает большее: вместо хъ ..., хп могут быть подставлены произвольные перестановочные элементы любого кольца независимо от того, содержит ли оно целые числа или нет.
Если 3ft — целостное кольцо, то и 3ft [х] — целостное кольцо.
Доказательство. Если Цх)Ф 0 и g(x)=^0 и если аа — старший коэффициент в f (х), а ^ — старший коэффициент в g(x), то ааЬ$ Ф 0 — коэффициент при ха+р в / (х) ? g (х), так что / (х) • g (х) Ф Ф 0. Следовательно, делителей нуля нет.
Из этого доказательства получается
Следствие. Если Ы —целостное кольцо, то степень многочлена f(x)-g(x) равна сумме степеней f (х) и g (х).
Для многочленов от п переменных с помощью индукции немедленно получается утверждение:
Если кольцо 3ft целостное, то кольцо 3ft [ху, ..., х„] тоже целостное.
Под степенью выражения оц ... а *”1- • -х“г мы понимаем сумму показателей 2 а<- Степенью же ненулевого многочлена называется наибольшая степень отличных от нуля составляющих его выражений указанного выше типа. Многочлен называется однородным или формой, если все составляющие его выражения имеют одинаковую степень. Произведение однородных многочленов вновь является однородным многочленом и его степень равна —при условии, что кольцо 3ft целостное, — сумме степеней сомножителей.
Неоднородные многочлены могут быть (однозначным образом) представлены в виде суммы однородных составляющих разных степеней. Перемножим два таких многочлена /, g степеней тип; тогда произведение однородных составляющих высших степеней в случае целостного кольца 3ft является ненулевой формой степени тфп. Все остальные составляющие произведения f-g имеют меньшую степень. Следовательно, степень многочлена f-g вновь равна тфп. Приведенная выше теорема о степени («следствие») оказывается, таким образом, верной для многочленов от любого числа переменных.
64
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Алгоритм деления. Пусть Ш —кольцо с единицей 1; пусть
ё (*) = 2
— произвольный многочлен, старший коэффициент которого сп = 1, и пусть
/ м = 2
— произвольный многочлен степени т^п. Тогда старший коэффициент ат можно обратить в нуль, если вычесть из / некоторое кратное многочлена g, а именно — многочлен атхт ng. Если в результате степень окажется большей или равной п, то старший коэффициент можно будет опять обратить в нуль, осуществляя вычитание некоторого кратного многочлена g. Продолжая таким образом, мы в конце концов получим остаток со степенью, меньшей п:
!~Яё = г, (3)
где г —многочлен степени, меньшей степени многочлена g, или, возможно, нулевой многочлен. Такая последовательность действий называется алгоритмом деления.
Если, в частности, 31 —поле к gфQ, то предположение о том, что сп = 1, излишне, потому что тогда при необходимости можно умножить g на с«' и получить единичный старший коэффициент.
Задача. Пусть х, у, ...— бесконечное множество символов; можно рассмотреть совокупность всех 91-многочленов от этих переменных. Каждый многочлен будет содержать лишь конечное число таких переменных. Доказать, что и таким образом определенная система является кольцом (соответственно целостным кольцом), если Э{ является кольцом (соответственно целостным кольцом).
§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов
Пусть о — произвольное кольцо.
Чтобы некоторое подмножество в о вновь было кольцом (под-кольцом кольца о), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) это подмножество должно быть подгруппой аддитивной группы кольца; другими словами, вместе с любыми а и Ь оно должно содержать разность а — Ь (свойство модулей)',
2) вместе с а и Ь оно должно содержать произведение аЬ.
