Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
T~r\d~T~T)~T'i Jf ~ bdf ’
/ a . с \ . e ad + bc . e adf + bef + bde
7 bd h T “ bdf '
а остальные законы аналогично.
Чтобы установить, что построенное поле содержит кольцо 31, мы должны отождествить элементы из Ш с некоторыми дробями. Делается это так.
cb
Сопоставим элементу с все дроби -у, где Ьф 0. Эти дроби равны между собой:
-у = -у-. так как (cb) Ь' = Ь (cb').
Следовательно, каждому элементу с сопоставляется лишь одна дробь. При этом различным элементам с, с' сопоставляются различные дроби, потому что из
cb с'Ь'
Т ~ ~ТГ
следует, что
ebb’ =bc'b',
60
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. Ш
или, так как Ь Ф 0, Ь' Ф 0, можно осуществить сокращение:
с —с'.
Итак, элементам кольца 34 взаимно однозначным образом сопоставлены совершенно определенные дроби.
Если СхфС2 = С3 ИЛИ СХС2 = С3 В кольце да, то для произвольных ЬХФ0, Ь2ф0 и Ь3 = ЬХЬ2 это означает, что
С]р1 . с2Ь2 сФФ-2 сф3
Ьх + ~Т% Ьф2 ~ Ьа ’
соответственно
сфх _ с.ф-2 _ _ с3Ьз
Ьх Ь2 ЬФ3 ь3
Следовательно, дроби складываются и умножаются так же,
как элементы кольца 34; поэтому они составляют систему, изоморфную кольцу 34. В силу сказанного мы можем заменить дроби сЬ
у на соответствующие им элементы с (§ 12, конец). Тем самым
мы получаем требуемый результат: построенное поле содержит КОЛЬЦО да.
Мы доказали, следовательно, существование поля, содержащего заданное целостное кольцо 34.
Построение частных является первым средством построения из данных колец других колец (в данном случае — полей). Например, именно так из кольца обычных целых чисел Ъ строится поле (Е) рациональных чисел.
Задача. Показать, что любое коммутативное кольцо 9? (с делителями или без делителей нуля) может быть погружено в некоторое кольцо частных, состоящее из всевозможных отношений а/Ь, где Ь пробегает все неделители нуля. Более общо, элемент Ь может пробегать любое множество 2Я неделите-лей нуля, содержащее вместе с двумя любыми своими элементами Ьх, Ь2 и их произведение Ьф^, в этом случае получится некоторое кольцо частных ЭБщ.
§ 14. Кольца многочленов
Пусть 34 — некоторое кольцо. Мы построим с помощью нового, не принадлежащего кольцу 34, символа х выражения вида
/ (х) = 2
в которых суммирование ведется по какому-то конечному множеству целочисленных значений индекса и «коэффициенты»
принадлежат кольну 34; например,
/ \Х) = йоА',! + а3х + аъхь.
§ 14] КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ 61
Такие выражения называются многочленами; символ х называется переменной. Таким образом, переменная — это не что иное, как символ в вычислениях. Два многочлена называются равными, если они содержат одни и те же составляющие слагаемые с точностью до слагаемых с нулевыми коэффициентами, которые могут быть произвольно добавлены или удалены из выражения для многочлена.
Если по обычным правилам оперирования с буквами сложить или перемножить два многочлена /(*), ё(х), рассматривая х как элемент, перестановочный с элементами кольца (ах —ха), а после этого сгруппировать все члены с одинаковыми степенями переменной х, то получится некоторый многочлен ? схху. В случае сложения
сх = ау~\-Ьу, (1)
а в случае умножения
су= ^ а°ь-с- (2)
а+ т = V
С помощью формул (1) и (2) мы о п р е де л я е м сумму и произведение двух многочленов и утверждаем, что:
Многочлены образуют кольцо.
Свойства сложения без каких бы то ни было новых доказательств очевидны, потому что они сводятся к свойствам сложения коэффициентов ау, Ьу. Первый закон дистрибутивности следует из равенства
2 аа(Ьх + с%)= 2 аоЬх+ 2 а0сх\
сЦ-х — у а-\-х—х о + т=у
аналогично получается второй закон дистрибутивности. Наконец, закон ассоциативности умножения получается из того, что
УI ~ 2 ^а^р^у>
а+т^ \р+У=т / а+Р + У=^
У, ( 2 аа.Ь$\ Су ~ • ^ ааЬ$сТ
р + у = V \а+Р = р / а+р+у=^
Кольцо многочленов, "получаемое из 31, обозначается через Ш[х]. Если Ш коммутативно, то коммутативно и 91 [х].
Степенью отличного от нуля многочлена называется наиболь шее число V, для которого ах Ф 0. Элемент йу с таким максимальным V называется старшим коэффициентом многочлена.
Многочлены нулевой степени имеют вид адХ°. Мы отождествляем их с элементами а0 основного кольца 31, что вполне допустимо, ибо они складываются и умножаются точно так же, как элементы основного кольца; благодаря э.ому обстоятельству многочлены нулевой степени образуют систему, изоморфную кольцу 31
62
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
(ср. § 12, конец). Следовательно, кольцо многочленов 34 [а:] содержит кольцо 34.
Переход от 34 I. 34 [л:] называется (кольцевым) присоединением переменной х.
Если к произвольному кольцу 34 последовательно присоединять переменные хъ х2, ..., хп и строить 34 [хх] [х2] ... [х„], то получится кольцо 34[х^ х2, xn\ состоящее из всевозможных сумм вида
(х„ ас
Еа“ 1-«л ••• хпп'
Мы будем считать, что в каждом таком многочлене допускается любая перестановка сомножителей х“1, ..., х“«. Таким образом, кольцо многочленов 34 [лу] [х2]... [х„] будет отождествляться с кольцом многочленов, получающимся путем перестановки переменных, например, с 34 [х2] [xj... [х„]. Это отождествление допустимо, так как перестановка переменных Xi не сказывается на определении суммы и произведения. Кольцо 34 [хг, хп] называют кольцом многочленов от п переменных хъ ... ..., хп.
