Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. Отношение (а, Ь) = (с1) остается верным при расширении кольца о до произвольного содержащего его кольца о.
Задача 2. Каждый элемент а порядка гв в произвольной группе © явля-
X с
ется произведением однозначно определяемого элемента а порядка г и однозначно определяемого элемента ацг порядка 5 в предположении, что числа г и я взаимно просты:
(г, ®) = 1.
Задача 3. Циклическая группа порядка п, порождаемая элементом а, порождается каждым элементом а!1, где (р, п)= 1.
Еще один пример евклидова кольца. Комплексные числа а-\-Ы (а и Ь — обычные целые числа) образуют кольцо целых гауссовых чисел.
Если определить «норму» числа а = а + Ы равенством
N (а) = (а + &0 (а — Ы) = а2 + Ь2,
то из определения произведения
(а + 6() (с+сЧ) = (ас — Ьс1) + (ас1 + Ьс)1
легко будет следовать равенство
ЛГ(аР) = ЛГ(а) Л(р). (3)
Норма АЦа) является обычным целым числом, которое (как сумма двух квадратов) обращается в нуль лишь тогда, когда само а равно нулю, а в остальных случаях положительно. Из (3) следует, что произведение аВ обращается в нуль лишь тогда, когда а или р равно нулю. Следовательно, мы имеем дело с целостным кольцом.
Согласно § 13 существует поле частных этого кольца. Если ос — а + ЫфО, а—Ы
то а"1 = .. . • числа поля частных можно, следовательно, представить в виде
N (а) ’
й С
—I-----I (а, с, п — целые числа). Эти «дробные числа» составляют «поле гаус-
п ‘ п
совых чисел». Определение нормы и равенство (3) дословно сохраняются и для этого поля.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
75
Чтобы получить алюритм деления в кольце целых гауссовых чисет, поставим перед собой задачу найти для заданных о и fS^O число а — ?,?, норма которого меньше нормы элемента ? Сначала определим дробное число А,'=а'-р 4 b'i, для которого а — V? = 0, затем заменим а' и Ь' на ближайшие к ним целые числа а и 6 и положим Х — а \-bi, X'— Х — г Тогда
а — X? = а — X'? + e? = e?,
N (а — A.?) =/V(e) N (?),
N (ь) = N (V - X) = (а'-af + (b’ -bf ^1,
N (a —A.?) < N (?).
Тем самым найден «алгоритм деления», и мы видим, что кольцо целых гауссовых чисел евклидово
Литература По вопросу о том, существует ли в произвольном кольце главных идеалов алгоритм Евклида или его обобщение, см Хассе (Hasse Н ) - -J reine und angew Math , 1928, 159, S 3-12 Вопрос о существовании алгоритма Евктида в тех или иных кольцах алгебраических чисел изучался в работах Перрон (Perron О ) —Math Ann , 107, S 489, Оппенгейм (Oppenheim A). —Math Ann , 109, S 349, Берг (Berg Е ) —Kgl Fysiogr Sallska-
pets Lund Forhandl , 5, № 5, Хофрайтер (Hofreiter N ) Monatsh Math Phys , 42, S 397, Б e p б о м, Редей (Behrbohm H., Redei L) —J. reine und angew Math , 174. S 198
§ 18. Разложение на множители
В этом параграфе мы будем рассматривать лишь целостные кольца с единицей Прежде всего выясним, какие элементы в таких кольцах следует считать простыми или неразложимыми.
При этом мы будем рассматривать, даже если это специально
и не оговорено, лишь ненулевые элементы.
Обычное простое число в кольце целых чисел всегда можно разложить на множители и даже двумя способами:
р = р 1 =(-р) (-1).
Однако в такой ситуации один из сомножителей обязательно является «обратимым»1), т. е. таким числом е, обратное к которому е 1 снова принадлежит данному кольцу. Числа -fl и — 1 являются обратимыми целыми числами.
Если, более общо, задано целостное кольцо с единичным элементом, то под обратимым элементом, или под делителем единицы, или просто под единицей2) подразумевается такой элемент е, для которого в кольце существует обратный е^1. Очевидно, что тогда и е*1 является обратимым элементом.
Каждый элемент кольца а допускает представление в виде
а = ае-1 • е,
х) В оригинале «Einheit» — единица —Прим. перев.
2) Слово «Einheit» (единица) часто употребляется как синоним слова «Einselement» (единичный элемент) Изучая разложение на множители, эти два понятия н^жно строго разделять, так как, например, —1 является единицей
76 КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ [ГЛ. Ш
где е —любой делитель единицы. Такие разложения, в которых один из сомножителей является обратимым, называются тривиальными.
Элемент рФ0, допускающий лишь тривиальные разложения, т. е. такие, что из p = ab следует, что либо а либо b обратим, называется неразложимым или простым элементом. (В частном случае целых чисел принято еще название простое число, а в случае многочлена — неприводимый многочлен.)
Элементы а и b = ае1, отличающиеся лишь обратимым множителем, иногда называют ассоциированными. Каждый из них является делителем другого, и для соответствующих главных идеалов имеют место соотношения
(а) Е (b), (b) Е (а), так что (Ь) = (а);
тем самым два ассоциированных элемента порождают один и тот же главный идеал.
Обратно, если каждый из двух элементов а и b является делителем другого:
a = bc, b = ad,
то
b = bed, так что 1 = cd, с — d1,
откуда следует, что с и d обратимы и а ассоциирован с Ь.
Если с —делитель элемента а, но не ассоциирован с а, т. е. a — cd и d не является обратимым, то с называется собственным делителем элемента а. В этом случае а не является делителем с и идеал (с) является собственным делителем идеала (а). Действительно, если бы а был делителем элемента с, скажем, c — ab, то выполнялись бы равенства
