Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
72
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ Ш
Точно так же доказывается следующее предложение:
Если Р — поле, то в кольце многочленов Р [х] каждый идеал является главным.
Действительно, можно вновь взять произвольный идеал а Ф Ф (0). В качестве а выберем многочлен наименьшей степени из содержащихся в а. Так как и в кольце многочленов существует алгоритм деления, произвольный многочлен Ь идеала можно представить в виде
Ь — да + г;
если г Ф 0, то степень многочлена г меньше, чем степень а. Дальше доказательство проходит аналогично предыдущему.
Целостное кольцо с единицей, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Как было сейчас показано, кольцо 2 целых чисел и кольцо многочленов Р [х] являются кольцами главных идеалов.
Каждое поле тривиальным образом является кольцом главных идеалов, потому что если а — произвольный ненулевой идеал в поле Р, то вместе с любым элементом аф 0 он содержит и произведение а~1а = \, т. е. а = (1)— единственный ненулевой идеал поля. (Ср. § 15, задача 7.)
Примененный в обоих приведенных выше доказательствах метод можно обобщить следующим образом. Пусть 91 — произвольное целостное кольцо, в котором каждому ненулевому элементу а сопоставлено целое неотрицательное число g(a) со следующими свойствами:
1. Для аф 0 и Ьф 0 справедливо g(ab)^g(a).
2. (Алгоритм деления.) Для любых двух элементов а, Ь, где аф0, существует представление
Ь = даг,
в котором г = 0 или ё{г) <ц(а).
В случае 91 = 2 полагаем g(a) — \a |, в случае 91 = Р[х] числом g(a) служит степень многочлена а. Кольцо с такими свойствами называется евклидовым. Применяя без каких бы то ни было изменений метод, который использовался в случаях колец 91 = 2 и 91 = Р [х], мы получаем следующую теорему:
В любом евклидовом кольце каждый идеал является главным и все элементы идеала являются кратными ца порождающего его элемента а.
Если эту теорему применить к единичному идеалу, т. е. ко всему кольцу, то получится, что в кольце есть такой элемент а, что все элементы кольца суть кратные да этого элемента а. В частности, сам элемент а представляется в виде
а — ае.
ЕВКЛИДОВЫ КОЛЬЦА И КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
73
Для Ь = да отсюда следует:
да = дае, в силу чего Ь = Ье.
Мы доказали следующее утверждение:
Евклидово кольцо обязательно содержит единицу.
Два ненулевых элемента а, Ь произвольного кольца главных идеалов порождают идеал (а, Ь), который состоит из всех выражений вида га + вЬ и который тоже является главным идеалом, т. е. порождается некоторым элементом й. Следовательно,
Согласно (2) элемент й является общим делителем а и Ь. В силу (1) элемент й является наибольшим общим делителем, т. е. все общие делители элементов а и Ь являются делителями и элемента й. Итак: в кольце главных идеалов любые два элемента а, Ь имеют наибольший общий делитель й, который представляется в виде (I).
Обычно наибольший общий делитель обозначают через й = = (а, Ь). Правильнее было бы писать (й) = (а, Ь), потому что элементами а и Ь однозначно определяется лишь идеал (й), а не сам элемент й. Если (а, Ь) = 1, то элементы а и Ь называются взаимно простыми.
Приведенное выше доказательство существования НОД не дает средства для вычисления этого объекта. В евклидовых кольцах такое вычисление осуществляется с помощью предложенного Евклидом1) способа последовательного деления (алгоритма Евклида, по которому евклидовы кольца и получили свое наименование).
Пусть заданы два элемента кольца а0, а1 и пусть §(а1)^§(а0). В соответствии с алгоритмом деления положим
и продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим при одном из делений нулевой остаток:
Все элементы а0, аъ а2, ..., а8 имеют вид га0-\-{а1. Каждый делитель элемента а5 (в частности, сам аД согласно последнему равенству является делителем элемента а$_ъ а потому, согласно предпоследнему равенству, — делителем элемента а$-г и т. д. и,
й = га + вЬ,
О)
(2)
«о = ДД + «2,
«1 = ?2«2 + %, ?(а3) <?(а2),
1) Евклид. Начала, книга 7, теоремы 1 и 2.
74
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
наконец, элементов ах и а0. Следовательно, а3 равен НОД элементов а о и ах.
Проведенные до сих пор рассуждения проходят и в случае некоммутативных колец, нужно лишь потребовать существования как левого, так и правого алгоритма деления:
й = 91о + г1 = а92 + гг, g(r1)<g(a), g(ri)<g{a).
Тогда получится, что каждый левый идеал содержит некоторый элемент а, все левые кратные ца которого и составляют данный левый идеал; то же верно и для правого идеала, в котором все элементы являются правыми кратными ж? некоторого элемента о. Двусторонний же идеал содержит порождающий его элемент а, на который все остальные элементы идеала делятся как слева, так и справа. Если этот вывод применить, в частности, к единичному идеалу, то отсюда сразу получится существование в кольце правой единицы, левой единицы и, значит, просто единицы.
Наконец, как и выше, доказывается существование левого и правого наибольших общих делителей двух элементов а, Ь.
Важнейшим примером некоммутативного евклидова кольца является кольцо многочленов Р [а:] над телом Р.
