Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Из II 1а) с помощью индукции по п получаем
аф1 + b2 -f-... -f- bn) = ab1 -f- ab2 -f-... + abn, и, равным образом, из 1116):
(flj -f-a2 + • • • -f-on)b = аф-\-аф-\-...-f-anb.
Оба эти закона дают привычное правило для перемножения сумм: (^1 + • • • + an)(bi + • • • + Ьт) =
п т
= афл +?. .-\-афт-f-...-f-anb\-f-.. .-f-anbm = У У аф/,.
i = l k = l
Законы дистрибутивности выполняются также и для вычитания; например,
аф — с) = ab — ас,
в чем легко убедиться непосредственно:
аф — с) + ас = аф — с + с) = ab.
В частности,
а ? 0 = а(а — а) = а ? а — а ? а = О,
или: произведение равно нулю, когда равен нулю один из сомножителей.
Обращение этого предложения, как мы увидим позднее на примерах, не обязательно верно: может случиться так, что
а-Ь = 0, аф О, b Ф 0.
В этом случае элементы а п b называют делителями нуля, причем а— левым делителем нуля, а Ь — правым делителем нуля. (В коммутативных кольцах оба эти понятия совпадают.) Оказывается удобным и сам нуль считать делителем нуля. Поэтому элемент а называется левым делителем нуля, если существует такой элемент Ъф 0, что ab = 0*).
*) Предполагается, что в кольце есть элементы, отличные от нуля.
52
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Если в кольце нет делителей нуля, отличных от самого нуля, т. е. если из аЬ = О следует, что или а = О, или Ь = О, то говорят о кольце без делителей нуля. Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется целостным.
Примеры. Все указанные ранее кольца (кольцо целых чисел, кольцо рациональных чисел и т. д.) являются примерами колец без делителей нуля. Кольцо непрерывных функций на интервале (—1, 1) обладает делителями нуля, потому что если положить
1 = 1(х) = тах (0, х), g = g(x) = mах (О, — х),
то окажется, что f=?^=01), ?=/=0, /? = 0.
Задача 1. Пары целых чисел (аьа2) с операциями (щ, а2) + (Ьу, 62) = (а1 + а2 + ^2)>
{а1, а2)-{Ь 1, Ь2) = (а1Ь1, а2Ь2)
образуют кольцо с делителями нуля.
Задача 2. Равенство ах=ау можно сокращать на а, если а не является левым делителем нуля. (В частности, в целостном кольце можно сокращать
на любой элемент а Ф 0.)
Задача 3. Построить, исходя из произвольной абелевой группы, кольцо,
аддитивная группа которого есть данная группа, а умножение таково, что
произведение любых двух элементов равно нулю.
Единичный элемент. Если кольцо обладает левым единичным элементом е:
ех = х для всех х, и о д и о в р е ме н и о — правым единичным элементом е': хе' = х для всех X, то оба эти элемента должны быть равны, так как
е — ее' = е'.
Точно так же любой правый единичный элемент равен е и левый единичный элемент тоже. При этих условиях элемент е называют просто единичным элементом или единицей и говорят о кольце с единичным элементом или о кольце с единицей. Часто единичный элемент обозначают символом 1, если это не приводит к путанице с числом 1.
Целые числа образуют кольцо с единицей, а четные числа — кольцо без единицы. Существуют также кольца, в которых есть несколько правых единичных элементов, но ни одного левого или наоборот.
1) ! ф 0 означает: ( является функцией, отличной от нуля. Условие отнюдь не означает, что / нигде не обращается в нуль.
« И]
КОЛЬЦА
53
Обратный элемент. Если а — произвольный элемент кольца с единицей е, то под левым обратным элементом к а подразумевается элемент ЙЦ) со свойством
Если элемент а обладает левым обратным и правым обратным элементами, то последние опять совпадают, так как
и, следовательно, каждый правый обратный, как и каждый левый обратный для элемента а равны указанному выше элементу. В этом случае говорят: элемент а обладает обратным элементом, а сам обратный элемент обозначают через а-1.
Степени и кратные. В главе 2 мы уже видели, что на основе закона ассоциативности для каждого элемента а в кольце можно определить степени ап (п — натуральное число) и получить обычные правила действий:
при этом последнее равенство справедливо для коммутативных колец.
Если кольцо обладает единицей, а элемент а — обратным, то можно ввести нулевую и отрицательные степени (§ 6); при этом равенства (1) остаются верными.
Точно так же в аддитивной группе можно ввести кратные
тогда равенства (2) окажутся выполненными для всех целых п и т (положительных, отрицательных и нуля).
Вместе с тем выражение п ? а не следует рассматривать как настоящее произведение двух элементов кольца, потому что п
а(1)й = е,
а под правым обратным — элемент а~{'г) со свойством
аа{г) = е.
ар\ = %) {Щг)) = {Щра) Щг) = а(г\,
(1)
(2)
Как и в случае степеней, положим
(— п)-а = — па;
54
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ, Ш
в общем случае не является элементом кольца, а представляет собой нечто внешнее: целое число. Если, однако, кольцо обладает единицей е, то па можно рассматривать как настоящее произведение, а именно:
Задача 4. Левый (соответственно правый) делитель нуля не обладает левым (соответственно правым) обратным элементом. В частности, нуль не имеет ни правого, ни левого обратного элемента. Тривиальное исключение: кольцо состоит из одного-единственного элемента 0, который одновременно служит единичным элементом и своим обратным («нулевое кольцо»).
