Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Гомоморфизм о->-р определяет разбиение кольца о на классы: класс будет состоять из всех элементов а, имеющих один и тот же образ а. Это разбиение на классы мы можем описать точнее:
Класс п кольца о, который при гомоморфизме о о соответствует нулевому элементу, является двусторонним идеалом в о, а остальные классы являются классами вычетов по этому идеалу.
Доказательство. Сначала докажем, что п —модуль. Если а и Ь при гомоморфизме переходят в нуль, то в нуль переходят — Ь и разность а — й; следовательно, вместе с а и Ь классу п принадлежит и разность а — Ь.
Далее, если а переходит в нуль и г — произвольный элемент кольца, то га переходит в г 0 = 0 и, следовательно, принадлежит н. Равным образом, переходит в нуль и элемент аг. Следовательно, п — двусторонний идеал.
Элементы а|с(сеп) одного и того же класса вычетов по п, представителем которого служит а, переходят в й + 0, т. е. в а, и, следовательно, принадлежат одному классу $0. Если, наоборот, элемент Ь переходит в а, то Ь — а переходит в а — а = 0 и, следовательно, Ь — аеЕ п, т. е. Ь лежит в том же классе вычетов, что и а. Тем самым требуемое доказано.
Итак, каждому гомоморфизму соответствует некоторый двусторонний идеал, являющийся его ядром.
Обратим теперь эту связь — будем исходить из произвольного идеала т кольца о и зададимся вопросом: существует ли гомоморфный образ о кольца о такой, что классы вычетов по идеалу т отображаются в элементы кольца о?
Чтобы построить такое кольцо, мы поступим так же, как в § 10: в качестве элементов конструируемого кольца возьмем просто классы вычетов по модулю ш; класс вычетов а +ш обозначим через а, класс вычетов й-фт —через й и определим а + й как класс, в котором лежит сумма а + й, и а ? Ь как класс, в котором лежит произведение аЬ. Если а' == а — какой-нибудь
68
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
другой элемент из а, а b' = b — другой элемент из В, то в соответствии со сказанным выше *)
а' + Ь' = а + а! -Ь' =а-Ь\
следовательно, а! -\-Ьг лежит в том же классе вычетов, что и а -\-Ь; точно так же а' -Ъ' лежит в том же классе вычетов, что и а-b. Таким образом, наше определение суммы и произведения классов не зависит от выбора элементов а, b в классах а, Ь.
Каждому элементу а соответствует класс вычетов а, и это
отображение _гомоморфно, потому что сумма а + b _ переходит в сумму а-\-Ь, а произведение ab — в произведение йЬ. Следовательно, классы вычетов образуют некоторое кольцо (§ 12). Зто кольцо мы назовем кольцом классов вычетов о/m или фактор-
кольцом кольца о по идеалу т или кольца о по модулю т. С по-
мощью указанного выше соответствия кольцо о гомоморфно отображается на кольцо о/m. В этой ситуации идеал m играет ту же роль, что раньше играл п.
Здесь мы видим принципиальную важность двусторонних идеалов: они позволяют строить кольца, гомоморфные данному кольцу. Элементами такого нового кольца являются классы вычетов по некоторому двустороннему идеалу. Любые два класса вычетов складываются и умножаются, потому что можно складывать и умножать два произвольных представителя этих классов. Из а = Ь следует, что а =5; таким образом, сравнения при переходе к классам вычетов становятся равенствами, и операции над сравнениями в кольце с соответствуют операциям над равенствами в кольце е/т.
Построенные здесь кольца частного вида, гомоморфные данному кольцу е, — кольца классов вычетов е/m — исчерпывают, по существу, все кольца, гомоморфные кольцу е. Действительно, если о — произвольное кольцо, гомоморфное кольцу о, то мы уже видели, что элементы из е взаимно однозначно соответствуют классам вычетов по некоторому двустороннему идеалу и в е. Класс вычетов $а соответствует элементу а из е. Сумма и произведение двух классов вычетов &а, §ib переходят соответственно в §.а+ь и $аЬ и, следовательно, им соответствуют элементы
а-\-Ь = а-\-Ъ
и __
ab = ab.
Таким образом, сопоставление классам вычетов элементов из о является изоморфизмом. Мы доказали следующее утверждение:
1) Само собой разумеется, что все сравнения берутся по модулю ш.
ДЕЛИМОСТЬ. ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ
69
Каждое кольцо о, гомоморфное кольцу о, изоморфно некоторому кольцу классов вычетов о/n. При этом п является двусторонним идеалом, элементы которого имеют нулевой образ в о. Обратно, любое кольцо классов вычетов о/п является гомоморфным образом кольца о (теорема о гомоморфизмах колец).
Примеры колец классов вычетов. В кольце целых чисел классы вычетов (см. задачу 1) по произвольному положительному числу т можно обозначить через $0, ..., &т-х, где состоит
из тех чисел, которые при делении на т дают остаток а. Чтобы сложить или перемножить два класса вычетов &0, &ь, нужно сложить или соответственно перемножить их представители а, b и привести результат к его наименьшему неотрицательному остатку от деления на т.
Задача 5. Кольцо классов вычетов с/m может содержать делители нуля даже тогда, когда их нет в кольце с. Привести примеры для кольца целых чисел.
Задача 6. Гомоморфизм о с является изоморфизмом тогда и только тогда, когда п = (0).
Задача 7. В теле нет идеалов, кроме нулевого и единичного. Доказать. Что следует отсюда для гомоморфных отображений тел?
