Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 5. Индукцией по п доказать для произвольного коммутативного кольца теорему о биноме:
Задача 6. В кольце из п элементов для каждого а имеет место равенство
(Ср. § 8, где было доказано равенство ап — е.)
Задача 7. Если элементы а и Ь перестановочны, т. е. аЬ — Ьа, то а перестановочен с — 6, пЬ и Ь 1. Если а перестановочен с Ь и с, то он перестановочен с Ь+с и Ьс.
Тело. Кольпо называется телом, если:
а) в нем есть по крайней мере один элемент, отличный от нуля:
б) уравнения
при аФ 0 разрешимы.
Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется полем*) или рациональным кольцом.
Точно так же, как в случае групп (гл. 2), доказывается, что из а) и б) следует
в) существование левой единицы е. Действительно, для каждого а ф 0 уравнение ха = а разрешимо; обозначим его решение через е. Для произвольного Ь уравнение ах = Ь разрешимо; следовательно,
Точно так же устанавливается существование правой единицы и вообще единичного элемента.
Из в) следует непосредственно
па = пеа = пе-а.
(а + Ь)п = ап + (^ ап~1Ь а»+ ... + &",
где
(:
— целое число
:)
п (л— 1)... (л — 6+ 1) _ л!
1 -2-. ..-к (п — к)\ к\ •
л • а = 0.
(3)
еЬ = еах — ах = Ь.
1) Некоторые авторы называют все тела полями и различают поля коммутативные и некоммутативные.
КОЛЬЦА
55
г) существование левого обратного а-1 для каждого а^=0 и, равным образом, правого обратного; итак, установлено существование обратного элемента вообще.
Так же как в случае групп, далее доказывается, что, наоборот, из в) и г) следует б).
Задача 8. Провести доказательство.
В теле нет делителей нуля, потому что из ab = 0, а Ф О с помощью умножения на а-1 следует равенство 0 = 0.
Уравнения (3) разрешимы однозначно, потому что из существования двух решений х, х', скажем, первого уравнения следовало бы, что
ах = ах'
и с помощью умножения на а 1 слева
х = х'.
Решения уравнений (3), естественно, равны
х = аг 1й, у^Ьаг1.
В коммутативном случае аг^Ь = Ьаг1, поэтому пишут также Ь/а.
Отличные от нуля элементы произвольного тела составляют относительно операции умножения группу — мультипликативную группу тела.
Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: мультипликативную и аддитивную. Обе они связаны дистрибутивными законами.
Примеры. 1. Рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа образуют поля.
2. Поле из двух элементов 0 и 1 строится следующим образом: эти элементы перемножаются, как числа 0 и 1. Относительно сложения элемент 0 является нулевым элементом:
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1+0 = 1;
пусть далее 1 + 1=0. Правило сложения то же, что и в композиции циклической группы с двумя элементами (§ 7); тем самым выполнены законы сложения. Законы умножения также выполнены, потому что они выполняются для обычных чисел 0 и 1. Первый закон дистрибутивности доказывается перебором всех возможностей: если в требуемое равенство входит нуль, то все тривиально, так что остается рассмотреть лишь случай
1 (1 +1)= 1 -1+1-1,
который приводит к справедливому равенству 0 = 0. Наконец, уравнение 1 х = а разрешимо при каждом а: решением служит х = а.
56
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Задача 9. Построить поле из трех элементов. (Обсудить сначала вопрос о том, какое строение могут иметь мультипликативная и аддитивная группы поля.)
Задача 10. Целостное кольцо с коненным числом элементов является полем. (Ср. соответствующую теорему о группах в главе 2, § 6.)
§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы
Пусть 91 и @ — системы с двойной композицией. Согласно общему определению из § 10 отображение ф из 91 в @ называется гомоморфизмом, если соотношения а-\-Ь ~с и аЬ = й при этом отображении сохраняются, т. е. если сумма а-\-Ь переходит в сумму й + 5, а произведение а-Ь — в произведение а В. Множество 91, являющееся в @ образом множества 91, называется в этом случае гомоморфным образом множества 91. Если отображение взаимно однозначно, то отображение называют изоморфизмом в соответствии с нашим общим определением (§ 9) и пишут 9? ^ 91. Отношение ^ рефлексивно и транзитивно, а так как отображение, обратное к изоморфизму, является изоморфизмом, это отношение и симметрично.
Гомоморфный образ кольца является кольцом.
Доказательство. Пусть 91 —кольцо, 91 — система с двойной композицией, а а >—*? а — гомоморфное отображение из 91 на 91. Мы должны показать, что 91 —снова кольцо. Как и в случае групп (§ 10), доказательство проводится следующим образом.
Пусть а, Ъ, С — любые три элемента из 91; докажем какое-либо из правил вычисления, например, а (б-Це) = аЬ-\-ас, для чего фиксируем прообразы а, Ь, с элементов а, Ь, с. Так как 91 — кольцо, выполняется равенство а {Ь-\-с) = аЬас, а в силу гомо-морфности отображения а (Ь с) = аЪ + ас. Точно так же проводится доказательство всех законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Для доказательства разрешимости уравнения а-\-х = Ь нужно найти прообразы а, Ь и решить уравнение а-\-х = Ь, откуда в силу гомоморфности получится, что а-\-х — Ь.
Нулю и противоположному элементу —а элемента а соответствуют при гомоморфизме нуль и противоположный элемент из кольца 91. Если 91 обладает единицей, то ей соответствует единичный элемент в 91.
